Алгебра 7

 

 

 

Тривалий  час алгебра  була частиною  науки  про числа  — арифметики. Значна частина різних задач, які ставить життя, розв’язуються однаковими способами.  Використовуючи замість чисел букви,  математики навчилися розв’язувати такі задачі в загальному вигляді.

За  допомогою  математичних записів  можна  охарактеризувати зв’язки між різними  величинами, описати процеси  та закономірності, які спо­ стерігаються  в навколишньому світі. Такі математичні  записи називають виразами.

Для  запису  виразів  використовують   букви,  числа,   знаки  дій  та дужки.

Перші два вирази містять тільки числа, а в останніх, крім чисел, є змінні.

Математичні  записи,   які  містять   тільки   числа,   знаки   дій  та дужки, називаються  числовими виразами.

Математичні  записи,   які  містять   числа,   змінні,  знаки  дій  та дужки, називаються  виразами зі змінними.

Вираз може складатися  з одного числа або з однієї змінної.

Якщо замість змінної у вираз підставити число, то знайдемо числове зна

чення цього виразу.

Цілим  виразом  називається   вираз,  який  не  містить  ділення  на змінну.

Два вирази зі змінними називаються  тотожно рівними, якщо їхні відповідні значення рівні за будьяких значень змінних.

Рівність двох тотожно рівних виразів називається  тотожністю.

Важливо  навчитися  перетворювати  і  спрощувати   алгебраїчні   вира- зи.  Для  цього  ми  будемо використовувати тотожні перетворення виразів, у результаті яких вирази замінюються тотожно рівними їм виразами.  З най- важливішими з них ти познайомишся в цій главі.

 

 

1. Що таке вираз зі змінною?

2. Що називають числовим  значенням виразу зі змінною?

3. Який вираз називається цілим? Наведи приклади.

4. Які вирази називаються тотожно рівними?

5. Що називається тотожністю?

6*. Пригадай, з якими тотожними  перетвореннями виразів ти вже знайомий.

 

 

Добуток, що містить понад два однакові множники, дуже незручно запи- сувати за допомогою знаків множення. Наприклад,  добуток восьми спів- множників,  кожен з яких дорівнює 5, записується як . Для спрощення  таких записів вводиться дія піднесення до степеня.

Замість того щоб у добутку писати  той самий  множник декілька  разів, його записують тільки один раз, зазначивши число повторень:

n співмножників

У записі an  змінна a називається основою степеня, натуральне число n — показником степеня, а сам вираз an («a в степені n») — степенем або степеневим виразом.

n-м  степенем числа a  називається добуток n  співмножників, кожен з яких дорівнює a, причому n — натуральне, n > 1.

У цьому означенні  n — натуральне число, більше за одиницю, тому що не- має сенсу розглядати добуток, який складається менш ніж з двох множників.

Перший степінь будь-якого  числа або змінної дорівнює самому цьому числу або змінній.

Як  ти  вже  знаєш,   другий  степінь  числа  називають  квадратом  числа, наприклад 22; a2; (x)2; а третій степінь — його кубом, наприклад b3; (3)3; 43.

Якщо a  0, то a  0, і вираз (a)n  — степінь від’ємного числа.

Згідно з правилом множення від’ємних чисел, за умови парної кількості множників добуток буде додатним, а якщо кількість множників непарна — від’ємним.

Степінь від’ємного числа додатний, якщо показник степеня пар- ний, і від’ємний, якщо показник степеня непарний:

якщо a  0 та n парне, то a n  0;

якщо a  0 та n непарне, то a n  0.

Якщо a — додатне число, то вираз a n — степінь додатного числа, він є додатним за будь-якого n.

Вираз (a n) — це число, протилежне степеню додатного числа, воно є від’ємним за будь-якого n.

 

Запитання для самоконтролю

1. Що називається степенем числа a?

2. Чому дорівнює перший  степінь будь-якого числа?

3. Що таке квадрат і куб числа?

4. Яких значень може набувати степінь від’ємного числа?

5. Яких значень може набувати степінь додатного числа?

6*. Яких  значень   може  набувати   степінь   модуля  раціонального числа?

 

 

Розглянемо добуток степенів з однаковими основами:

Щоб перемножити степені з однаковими основами, потрібно дода- ти показники степенів, а основу залишити без змін.

Тепер розділимо степені з однаковими основами  (a  0), припускаючи, що натуральний показник степеня діленого більший,  ніж натуральний показник степеня дільника:

m разів

n разів

(m  n) разів

Нульовий степінь будь-якого числа, відмінного від нуля, дорів- нює одиниці: a0  1.

Щоб  розділити степені з  однаковими основами, потрібно від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника, а основу залишити без змін.

Нульовий степінь нуля не визначається.

Нуль у будь-якому степені, відмінному від нуля, дорівнює нулю.

 

Запитання для самоконтролю

1. Як перемножити степені з однаковими основами?

2. Як знайти частку степенів з однаковими основами?

3. Чому дорівнює нульовий степінь числа?

4*. Подумай,  чому не визначають  00.

 

 

Розглянемо числовий приклад: 

Тепер, скориставшись означенням степеня,  отримаємо:

У загальному  випадку,  скориставшись означенням степеня  і змінивши порядок множників у добутку, отримаємо:

Отже, (аb)n  = аn  bn.

Щоб  піднести до  степеня з  натуральним  показником добуток, потрібно кожен множник піднести до цього степеня і перемножити отримані результати.

Якщо степеневі  вирази  ще раз піднести до якогось степеня,  то отрима- ємо степінь у степені. Наприклад, у виразі (a3)2  куб основи треба піднести до квадрата. Розглянемо цей вираз як другий степінь з основою  a3. Тоді за означенням степеня отримаємо:

Але, з іншого боку, a3 можна розглядати як добуток трьох однакових співмножників і скористатися правилом  піднесення до степеня добутку.

Отримаємо:

Таким чином,  в обох випадках ми отримали той самий результат.

У загальному випадку, скориставшись тими самими означеннями і пра- вилами,  отримаємо:

n доданків

Отже, (am)n   amn.

n разів

Щоб піднести степінь до степеня, потрібно основу залишити тією самою, а показники степенів перемножити.

З отриманого  правила виходить, що (am)n   (an)m, бо обидві частини цієї рівності дорівнюють amn.

 

 

Ніхто, мабуть, не користується так широко  дією піднесення до степеня, як астрономи. Дослідники Всесвіту на кожному  кроці стикаються  з вели- чезними  числами,  що містять довгий ряд нулів. Зображення у звичайний спосіб таких числових велетнів, що їх слушно називають «астрономічними числами»,  неминуче призвело  б до великих  незручностей, особливо  під час обчислень.  Так, відстань від Землі до Сонця дорівнює 150 000 000 000 м, а відстань від Землі до туманності  Андромеди,  записана  в кілометрах,  має такий вигляд: 9 500 000 000 000 000 000.

Маси  зірок  та планет  виражаються   ще  більшими  числами,  особливо якщо вимірювати  їх, скажімо,  у грамах. Наприклад:

маса Землі 6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 г;

маса Сонця  1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 г.

Уяви, як складно  було б виконувати  дії з такими  громіздкими числами і як легко було б при цьому помилитися.

Дія піднесення до степеня дає простий розв’язок цієї проблеми.  Одини- ця,   що  супроводжується   низкою   нулів,  являє   собою  певний   степінь числа 10. Так, 100 = 102, 1000 = 103, 10 000 = 104 і т. д.

Отже,  наведені  вище  числові  велетні  можна  подати  в такому  вигляді:

відстань від Землі до Сонця  1,5  1013 см;

відстань від Землі до туманності Андромеди 9,5  1023 см;

маса Сонця  1,983  1033 г.

У розглянутих прикладах числа записані  в так званому стандартному вигляді.

Стандартним  виглядом числа називається його запис у вигляді

а  10n, де 1 ≤ а < 10 та n — натуральне число. Число n називається порядком числа.

Такий  запис  набагато  зручніший, він  суттєво  полегшує  обчислення. Якби  треба  було,  наприклад, перемножити 9,5   1023  та 1,983   1033,  то достатньо  було б знайти  добуток  9,5  1,983  18,8385 і поставити  його попереду множника 1023  1033  1056:

9,5  1023  1,983  1033 = 18,8385  1056 = 1,883 85  1057.

 

Запитання для самоконтролю

1. Що називається стандартним виглядом числа?

2. Поясни, що називається порядком  числа.

3*. Де  застосовується  запис   числа  з  використанням  степеня числа 10? Для чого? Наведи приклади.

 

 

 

Найпростішим видом алгебраїчного виразу є одночлен.

Одночленом називається вираз, отриманий  шляхом множення чисел, змінних та їх степенів.

Вирази, що складаються з одного числа або однієї змінної, також є одно- членами. Наприклад:

Одночленом  стандартного  вигляду називається  такий одночлен, який містить тільки один числовий множник  (коефіцієнт), що стоїть у його записі на першому місці, а інші множники є степе- нями різних змінних (степені зазвичай записують в алфавітному порядку змінних).

Для того щоб перемножити одночлени, перемножують окремо їхні коефіцієнти і окремо степені відповідних змінних, оскільки спів- множники можна міняти місцями.

Для того щоб піднести одночлен до степеня, потрібно піднести до цього степеня кожний з його множників, а отримані результати перемножити.

 

Запитання для самоконтролю

1. Сформулюй означення одночлена.  Наведи приклади.

2. У якому випадку можна казати, що одночлен записано  у стан- дартному вигляді?

3. Як перемножують  одночлени?

4. Як піднести одночлен до степеня?

5. Що називається степенем одночлена?

6*. Чи є одночленом вираз (2x2y3   4ab4)5? Відповідь поясни.