Аналітичні моделі поверхонь на основі перетворень і тангенціальних рівнянь

Параметричну форму подання ліній та поверхонь запропонував Гаус (1827 р.). Поверхню він подає трьома функціями від двох змінних

x = x (u, t), y = y (u, t), z = z (u, t), (6)

а лінію – трьома функціями від однієї змінної

х = x (t), y = y (t), z = z (t). (7)

Лінію на поверхні подають внутрішнім рівнянням

u = u (t), (8)

та параметричними рівняннями (6) поверхні.

В сучасній прикладній геометрії визначились два підходи до аналітичного формоутворення поверхонь:

– поверхня складається з гладкоспряженних кусків, рівняння яких єдине за виглядом при різних значеннях коефіцієнтів;

– поверхня має одне з представлень (2), (5) чи (6).

Першу аналітичну параметризацію поверхні назвемо локальною, другу – глобальною.

Мета роботи і задачі дослідження, сформульовані у вступі, випливають з наукового завдання: показати спільні риси і особливості перетворень відносно загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення на основі глобальної параметризації, а також узагальнити аналітичне подання мебіусових груп перетворень та їхніх композицій, дослідити перетворення і образи перетворень, здійснення яких без комп'ютера проблематичне, обґрунтувати використання досліджень у роботах АСНД, САПР, систем обробки з ЧПК.

У другому розділі розроблено узагальнене аналітичне подання мебіусових груп перетворень та їхніх композицій, а також подання ізометричних і афінних перетворень в точковому численні.

Показано, що рівняннями

 ,  ,   (9)

можна подати будь-яку групу мебіусових перетворень. Між коефіцієнтами a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 пропонується зберігати для всіх груп зв'язки

 ,  ,   (10)

 ,  ,  . (11)

Зв'язки (10), (11) виконуються тотожно у наступних випадках:

– якщо a, b, g – кути Ейлера, що характеризують положення системи   відносно системи XOYZ. Ці системи можна сумістити трьома поворотами другої відносно першої: на кут a навколо осі OZ до положення X1OY1Z1 (OZ1єOZ) ; навколо осі OX1 на кут b до положення X2OY2Z2 (OХ2 є OХ1) ; навколо осі OZ2 на кут g до положення   (OZ2єO ),

   

   

 ,  ,  ; (12)

– якщо системи XOYZ та   можна сумістити, виконавши тільки перших два повороти

   

    (13)

 ,  ,  ;

– якщо системи XOYZ та   можна сумістити одним поворотом на кут a навколо осі, що проходить через загальний початок і має напрямні косинуси l, m, n відносно XOYZ

В залежності від виразів коефіцієнтів, що входять до формул (9), цими формулами забезпечується подання будь-якого з мебіусових перетворень, а також композиції колінеацій. Наголосимо, що в чисельниках виразів (9) відсутні вільні члени, які за своєю сутністю є компонентами паралельного переносу однієї системи відносно іншої, тобто вони не впливають на формоутворення. 

Показано, що для подання афінних перетворень зручно застосовувати точкове числення, базисом якого є система точок (симплекс).

Нехай прообразом є поверхня, параметричне рівняння якої

 ,  ,  . (15)

Рівняння образу поверхні (15) у афінному перетворенні в точковому численні

 , (16)

якщо точки A, B, C, D не належать одній площині.

При виконанні умов AD=BD=CD=l, AD^BD, AD^CD, BD^CD перетворення (16) є перетворенням подібності, а при l=1 воно є ізометричним.

Наведений приклад можна узагальнювати у двох напрямках. Замість двовимірного прообразу можна розглядати прообраз, вимірність якого не вище вимірності простору, що вміщує цей прообраз. Так, для тривимірного простору прообразом може бути конгруенція, яка теж тривимірна.

З іншого боку, підвищення чи пониження вимірності простору, що вміщує прообраз, здійснюється простим додаванням чи усуненням одного члена у рівнянні (16).

Зокрема, рівняння (16) раціонально застосовувати для подання плоских ліній у просторі, за умов визначення функцій x, y, z від одної змінної.

Мебіусові перетворення відносяться до точкових. Формально математичний апарат точкових перетворень збігається з точністю до позначень з математичним апаратом загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення.

В третьому розділі досліджено перетворення, математичний апарат яких має особливості відносно загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення. Це перетворення на основі принципу двоїстості, запропонованого Плюкером.

Рівняння площини у формі

  (17)

Плюкер запропонував читати з двох точок зору. Якщо x, y, z уявляти змінними, а  ,  ,   сталими коефіцієнтами, то рівняння (17) виражає площину, а  ,  ,   він назвав координатами площини. Якщо ж x, y, z та  ,  ,   змінити ролями, то рівняння (17) визначатиме множину площин, що проходять через точку з координатами x, y, z.

На принципі двоїстості засновані корелятивні перетворення та перетворення дотику.

Відомо, що рівняння конгруенції площин, дотичних до поверхні

 ,  ,   (18)

має вигляд

, (19)

або в розгорнутому вигляді

 . (20)

Рівняння (20) називають тангенціальним рівнянням поверхні (18).

Будемо уявляти тангенціальне рівняння (20) поданим. Відшукання параметричних рівнянь (18) поверхні, поданої тангенціальним рівнянням (20), здійснюється приєднанням до рівняння (20) ще двох рівнянь

 , (21)

 , (22)