Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Асимптоти кривої. Загальна схема дослідження функції

Предмет: 
Тип роботи: 
Лекція
К-сть сторінок: 
4
Мова: 
Українська
Оцінка: 
Асимптоти кривої. Загальна схема дослідження функції
 
Асимптотою кривої називається така пряма, до якої необмежено наближається точки кривої при необмеженому віддаленні її від початку координат. Крива може наближатися до своєї асимптоти тими ж способами, як і змінна до своєї границі: залишаючись з однієї сторони від асимптоти або з різних сторін, кілька раз перетинаючи асимптоту і переходячи з однієї сторони на другу.
Розрізняють асимптоти: вертикальні, горизонтальні і похилі.
Для знаходження асимптот керуються наступними правилами:
а) Якщо при крива має розрив ІІ-го роду, тобто якщо при або при функція прямує до нескінченності (того чи іншого знаку), то пряма являється вертикальною асимптотою;
б) Крива має горизонтальну асимптоту тільки в тому випадку, коли існує скінченна границя функції при або , і ця границя дорівнює тобто, якщо або .
в) Для знаходження похилої асимптоти кривої необхідно знайти числа та за формулами:
 Необхідно окремо розглянути випадки і ). Похилі асимптоти для кривої існують в тому випадку, коли границі для знаходження та мають скінченні значення. Якщо виявиться, що , а - скінченне число, то асимптота буде горизонтальною.
Приклад. Знайти асимптоти кривої:
1) ;2) ;
3) ;4) .
Розв’язок.
1) .
а) При х=3 задана крива має нескінченний розрив, через це пряма х=3 є її вертикальною асимптотою.
б) знаходимо похилі асимптоти:
Підставляючи знайдені значення і у рівняння похилої асимптоти, одержимо: . Інших похилих асимптот немає, так як при значення і будуть такими ж. Крива зображена на рис.. Асимптоти кривої є прямі х=3 та .
2) (рівнобічна гіпербола)
а) Визначимо вертикальну асимптоту; для цього знаходимо ті значення х, поблизу яких необмежено зростає за абсолютною величиною. Таким значенням буде х=0, тобто це вісь Оу.
б) Знаходимо горизонтальні асимптоти
 і крива має одну горизонтальну асимптоту у=0, тобто горизонтальною асимптотою являється вісь Ох.
3)
а) Крива не має вертикальних асимптот, так як вона неперервна.
в) Знайдемо похилі асимптоти:
 Тобто при кутовий коефіцієнт асимптоти не існує, внаслідок чого, при крива не має асимптоти.
 Отже при крива має горизонтальну асимптоту у=0 (вісь Ох).
4) .
а) Крива має дві вертикальні асимптоти х=-2 і х=2, так як при вона має нескінченні розриви.
в) Похилих асимптот крива не має, так як її областю визначення являється інтервал і через це х не може прямувати до нескінченності.
Загальний план дослідження функції та побудови її графіків.
Загальне дослідження функції та побудова їх графіків зручно використовувати за наступною схемою:
І. Знайти область визначення функції.
ІІ. Знайти точки розриву функції та її односторонні границі.
ІІІ. З’ясувати, чи являється функція парною, непарною або періодичною.
ІV. Знайти точки перетину графіка з осями координат.
V. Знайти асимптоти графіка функції: а) вертикальні; б) похилі.
VІ. Знайти точки екстремуму та інтервали зростання та спадання функції.
VІІ. Знайти точки перегину графіка функції та інтервали опуклості та вгнутості кривої.
VІІІ. Побудувати графік функції, враховуючи всі одержані результати дослідження. Якщо їх буде недостатньо, то необхідно знайти ще декілька точок графіка функції, виходячи із її рівняння.
Задача. Дослідити функцію та побудувати її графік.
 І. Функція визначена для будь-якого х, крім , тобто в інтервалах .
ІІ. Знайдемо точки розриву та її односторонні границі в точках розриву:
Функція неперервна в інтервалах . Функція неперіодична.
ІІІ. З’ясуємо чи є функція парною чи непарною:
 Ні одна із нерівностей не має місце.
Отже, функція ані парна, ані непарна.
ІV. Графік функції не перетинає осей координат, так як і .
V. Визначимо асимптоти графіка функцій:
а) Значення (тобто вся вісь Оу) являється вертикальною асимптотою кривої.
б) Горизонтальні асимптоти:
 Горизонтальною асимптотою являється вісь .
в)Знайдемо похилі асимптоти, рівняння яких .
 Це означає, що при похилих асимптот немає.
 у=0 (похила асимптота співпадає з горизонтальною).
VІ. Визначаємо точки екстремуму та інтервали зростання та спадання функції.
 Знаходимо критичні точки:
1)Із рівняння , тобто , слідує, що .
2) при , але при функція невизначена. Таким чином, функція має критичну точку . Область визначення функції поділимо на інтервали . Складемо таблицю:
х 
-Не існує-0+
 min e 
Отже.
VІІ. Знайдемо точки перегину та інтервали опуклості та вгнутості кривої: .
Знайдемо критичні точки другого роду.
З рівняння , враховуючи, що , то , але дискримінант квадратного рівняння менший за нуль. Отже, немає дійсних значень х, при яких . Таким єдиним значенням являється . Але точка перегину при не може бути, так як при задана функція не існує. Отже, точка перегину графіка функції не існує.
Для визначення інтервалів опуклості та вгнутості графіка функції розглянемо знак на інтервалах і .
на , крива опукла;
 на , крива вгнута.
VІІІ. Побудуємо графік.
Фото Капча