Будівельна механіка. Чемодуров В.Т.

 

УДК 539.373

 

Чемодуров В.Т., д.т.н., профессор, Попов А.Г., инженер (Национальная академия природоохранного и курортного строительства)

 

 

Рассмотрен один из вариантов расчета прямоугольной трехслойной пластины. Показана возможность приведения многослойной пластины к однородной с приведенным модулем упругости. Определен модуль упругости среднего слоя, выполненного из армированного полимерного материала. Исследуется полоса пластины в виде балки. Получены уравнения прогиба балки с жестко закрепленными концами в виде ряда с применением метода Леви. Предлагается постановка задачи оптимизации параметров трехслойной балки.

 

One of variants of calculation of rectangular is considered three-layered pla-stiny. Possibility of bringing a multi-layered plate over is rotined to the homogeneous with the resulted module resiliency. The module is certain willguests of middle layer, executed from reinforced polymeric ma-teriala. The bar of plate is probed as a beam. Got uravne-niya bending of beam with the hardly fastened ends as a row from the pri-meneniem method of Levi. Raising of task of optimization of parameters of the three-layered beam is offered.

 

В последние годы многослойные панели находят все большее применение в строительстве. Благодаря целесообразному выбору и составу отдельных слоев могут быть созданы панели с заданными статистическими и конструктивными свойствами.

Многослойная панель, используемая в качестве несущего элемента, как правило, состоит из трех слоев: двух внешних и одного внутреннего. Для достижения общей несущей способности этой многослойной конструкции слои соединены между собой для образования монолитной системы.

В работе рассматривается трехслойная панель, внешние слои которой выполнены из бетона, а средний – из армированного полимерного материала (рис. 1).

 

Рис. 1. 

Все типы многослойных панелей характеризуются способностью внешних слоев воспринимать усилия растяжения и сжатия и низкими прочностными показателями среднего слоя на сдвиг.

Для расчета многослойной панели, на которую действует поперечная нагрузка имеется много теорий различной точности и сложности. Точный расчет плоской многослойной панели вытекает из математической теории упругости для ортотропного тела [1]. Решение уравнений производится отдельно для каждого слоя. При этом должны быть соблюдены условия неразрывности деформаций слоев панели. Точные расчеты весьма трудоемки, решения известны лишь для некоторых частных случаев крепления прямоугольных панелей [3].

Представляется, что расчет многослойной панели можно упростить, если реальную панель заменить однослойной с приведенной жесткостью

 ,(1)

 где Ai – площадь поперечного сечения i-го слоя (рис. 2).

  

Рис. 2. 

Рассмотрим панель-балку шириной b=1. Составляющие формулы (1) имеют вид:

 (2)

Здесь E – модуль упругости внешних слоев, Е1 – модуль упругости среднего слоя.

 (3)

Приведенный модуль упругости трехслойной балки

 ,(4)

где момент инерции балки

 (5)

Окончательное выражение для приведенного модуля упругости имеет вид

 (6)

Выражение (6) значительно упростится, если трехслойная балка симметрична по толщине, то есть   и  .

 (7)

Таблица 1

Значения коэф. K и K1 зависят от соотношения толщин t и δ

δ/tKK1

10,4380,0625

20,2340,198

30,1440,316

40,09760,410

Определим модуль упругости среднего слоя, который препятствует сдвиговым деформациям (рис. 3).

 

Рис. 3.

Определим модуль упругости среднего слоя, который препятствует сдвиговым деформациям. Согласно закону Гука

 (8)

где   (рис. 3).Здесь   – деформация растяжения (сжатия) армирующего металлического стержня, у которого модуль упругости Ес, и площадь сечения Ас.

 (9)

Для определения продольного усилия N составим уравнение равновесия относительно точки О.  . Отсюда

 ,(10)

где Т – сдвиговое усилие.

Выразим L через толщину среднего слоя h.

 .(11)

В этом случае .(12)

После подстановки (11) и (12) в (9) будем иметь   Отсюда, деформация сдвига   Угловая относительная деформация  

Усилие Т выразим через касательное напряжение и площадь поперечного сечения среднего слоя    При b=1  . Следовательно

   Отсюда

 (13)

Если принять диаметр стального стержня d = 5мм, с модулем упругости  , то модуль упругости одного узла будет равен  Па. При наличии n узлов модуль упругости среднего слоя полосы-балки

 .(14)

Далее, по формуле (4) находим приведенный модуль упругости полосы-балки и ее цилиндрическую жесткость

  (15)

Определив основные механические характеристики полосы-балки, перейдем к определению ее прогиба w от действия внешней нагрузки. Схема крепления полосы балки показана на рисунке 4.

Граничные условия на защемленных концах

 .(16)

При исследовании вопроса об изгибе полосы-балки воспользуемся решением М. Леви. Условия (16) будут удовлетворены, если примем в качестве частного решения уравнения прогиба

 (17)

выражение вида   .

Здесь Yn–неизвестная функция y, которая должна удовлетворять уравнению (17) и условиям по сторонам полосы-балки, параллельным оси x. Будем искать выражение для прогиба полосы-балки в форме бесконечного ряда

 (18)

Нагрузку q примем равномерной по площади полосы-балки. Подставив (18) в (17), найдем

 .

Умножая обе части полученного уравнения на   и интегрируя в пределах от 0 до а, получим следующее линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами для функции Yn.

 .(19)

Обозначим  . Тогда при q=Const получим

 .(20)

Пусть  – частное решение уравнения (20). Общий интеграл его запишется в виде

 .(21)

Произвольные постоянные An, Bn, Cn, Dn определяются из условия крепления полосы-балки по краям, параллельным оси x (16). Для этого дифференцируем (21) по y.

         (22)

При y=0:        (23)

При y=b:

       (24)

Решая совместно уравнения (23) и (24), получим

           (25)

Частное решение   найдем путем подстановки его в уравнение (20), правая часть которого отлична от нуля при нечетных значениях n.

   откуда  .

Обозначим  , тогда  . Выражения (25) можно переписать так:

                 (26)

Выражение для Yn запишется следующим образом

 Для краткости записи введем обозначения для постоянных величин

 

Прогиб полосы-балки на основании (18) представляется в таком виде

 (27)

Проанализируем полученное уравнение прогиба. При достаточно большом размере пластины b Коэффициенты F1 и F2 стремятся к единице. Если в своем исследовании ограничиться поведением вырезанной из пластины полосы-балки шириной, равной единице, то синус также может быть приравнен единице. Максимальный прогиб полосы-балки приходится на ее середину  . При    . В этом случае приближенно можно оценить прогиб в середине полосы-балки

 .(28)

Это приближенное значение справедливо, так как уже второй член ряда бесконечно мал.

Определим изгибающий момент по оси y.  

   (29)

В выражении (29) введены следующие функции:

 (30)

Ряд (29) также как и ряд (27) быстро сходится. Наибольший изгибающий момент наблюдается в защемлении пластины. Согласно формуле (20) при y=0 и при y=b будем иметь

 (31)

Принимая   и подставляя в (31) значения K и α, определим по абсолютной величине  (32)

Ряды, представленные формулами (28) и (32) быстро сходятся за счет прогрессирующего роста гиперболических функций.

Одной из важнейших задач при проектировании конструкций является выбор ее параметров, определяющих эффективность функционирования. Так, в случае рассматриваемого примера, рациональный подход к созданию балки рассматриваемого класса в качестве показателя эффективности (качества) целесообразно выбрать ее массу. То есть определить такое сочетание параметров трехслойной балки, к которым относятся толщины ее слоев, чтобы при ограничении на максимальный прогиб, ее масса стремилась к минимуму.

Обозначим массу трехслойной балки

  (33)

Варьируемыми параметрами являются толщины tв, tн, δв, δн, которые имеют свои пределы изменения.

Функцию ограничения представим в виде максимального прогиба, определяемого формулой (28). Математическая задача нелинейного программирования имеет вид: минимизировать функцию

  (34)

при ограничениях  (35)

 (36)

Под множеством X понимается совокупность интервалов варьирования толщин принятой схемы балки.

В качестве метода оптимизации авторами предлагается метод случайного поиска [2]. Под случайным поиском понимается намеренное введение элемента случайности в алгоритм поиска. Эта случайность служит целям сбора информации о поведении объекта исследования. В ряде случаев введение такого случайного поведения в поиск дает возможность построить весьма простые и эффективные алгоритмы случайного поиска, которые в определенных случаях превосходят регулярные методы поиска оптимального варианта конструкции.

 

1. Тимошенко С.П.- Теория упругости, Наука, 1975 г. 2. Чемодуров В.Т. – Моделирование систем, Л., ВМА, 1980г. 3. Штамм К., Витте Х. – Многослойные конструкции, М., Стройиздат, 1983г.