Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Декартовий добуток множин

Предмет: 
Тип роботи: 
Контрольна робота
К-сть сторінок: 
8
Мова: 
Українська
Оцінка: 
План
 
1. Декартовий (прямий) добуток множин
2. Відповідності, функції і відображення
 
1. Декартовий (прямий) добуток множин
 
Розглянемо дуже важливу операцію над множинами.
Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується AB) називається множина всіх пар (a, b), в яких перший компонент належить множині A (aA), а другий – множині B (bB).
Тобто
 
AB = { (a, b) | aA і bB } або (a, b) AB   
 
Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A1, A2,..., An – множини, то їхнім декартовим добутком називається множина
 
D = { (a1, a2,..., an) | a1A1, a2A2,..., anAn },
 
яка складається з усіх наборів (a1, a2,..., an), в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору, належить множині Ai, i=1, 2,..., n. Декартів добуток позначається через A1 A2...  An.
Набір (a1, a2,..., an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a1, a2,..., an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a1, a2,..., an) і (b1, b2,..., bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1, 2,..., n. Отже, кортежі (a, b, c) і (a, c, b) вважаються різними, в той час як множини {a, b, c} і {a, c, b} – рівні між собою.
Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину AA... A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An.
Прийнято вважати, що A0 =  (n=0) і A1 = A (n=1).
Приклад 1. Якщо A = {a, b} і B = {b, c, d}, то
 
AB = { (a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d) },
A2 = { (a, a), (a, b), (b, a), (b, b) }.
 
2. Якщо R – множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R2 – це множина пар (a, b), де a, bR, або множина точок координатної площини.
Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.
3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів в алфавіті A – це множина
 
A* = {e}  A  A2  A3 ... = {e}  Ai,
 
де e – порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A.
Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1, a2,..., an) частіше використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності символів a1a2... an, ajA, j=1, 2,..., n. Наприклад, 010111, 011, 0010, 100, 010 – слова в алфавіті B = {0, 1}, а 67-35, -981, (450+12) /27, 349*2+17 – це слова в алфавіті C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, *, /, (,) }.
Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (AB) C і A (BC), а також множини AB і BA, взагалі кажучи, нерівні між собою.
Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:
 
(A  B)  C = (AC)  (BC),
(AB)  C = (AC)  (BC),
A  (B  C) = (AB)  (AC),
A  (BC) = (AB)  (AC).
 
Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w= (a1, a2,..., an) називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri (w) = ai.
Проекцією кортежу w= (a1, a2,..., an) на осі з номерами i1, i2,..., ik називається кортеж (ai1, ai2,..., aik), позначається Рri1, i2,..., ik (w) = (ai1, ai2,..., aik).
Нехай V – множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у вісь (позначається PriV) називається множина проекцій на i-у вісь усіх кортежів множини V: PriV = { Pri (v) | vV }.
Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:
 
Pri1, i2,..., ikV = { Pri1, i2,..., ik (v) | vV }.
Приклад 2. Pri1, i2,..., ik (A1  A1 ...  An) = Ai1  Ai2 ...  Aik.
Якщо V={ (a, b, c), (a, c, d), (a, b, d) }, то Pr1V={a}, Pr2V={b, c}, Pr2, 3V={ (b, c), (c, d), (b, d) }.
 
2. Відповідності, функції і відображення
 
Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина CAB.
Якщо (a, b) C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при
Фото Капча