До оцінки узагальненої реакції висотних споруд

Підстановка виразу (7) в формулу (5) для сумарної реакції споруди вздовж потоку дозволяє записати:

 

Рис. 1. Розрахункова модель для максимумів процесів реакцій споруд:

(а) схематизація випадкового процесу; (б) схематизація розподілу максимумів

 

Відповідно до обраного допущення вважатимемо, що динамічна складова реакції   може викликати відмову споруди лише тоді, коли середня швид-кість вітру   і, відповідно, реакція  , досягають свого глобального максимуму на інтервалі часу  , де   – термін експлуатації споруди (див. рис. 1). Це допущення дозволяє замість випадкового процесу   розгля-дати лише його максимуми, приймаючи їх за випадкові величини, пов’язані частотно-часовими зв’язками із вихідними процесами:

Максимуми   випадкового процесу середнього швидкісного напору   і процесу   мають подвійний експоненціальний розподілу Гумбеля [21]. Тому, очевидно, що закон розподілу максимумів реакції споруди визна-чатиметься через добуток двох однаково розподілених випадкових величин із різними статистичними характеристиками. Для простоти позначимо:

На основі правила знаходження щільності розподілу двох незалежних випадкових величин запишемо:

Використаємо класичну для подвійного експоненціального розподілу під-становку Барричеллі [21]:

Після низки алгебраїчних перетворень для щільності   маємо:

 (12)

Слід відмітити, що в строгій математичній постановці коефіцієнт динаміч-ної чутливості   у виразі (9) повинен також розглядатися як випадкова величина. Це обумовлюється його нелінійним зв’язком із середньою швид-кістю вітру. Проте проведені нами статистичні випробування виявили досить несуттєву мінливість виразу  , що в кінцевому рахунку дозволило рекомендувати визначати   при значенні середньої швидкості вітру:

де   – характеристичний максимум випадкового процесу середньої швидкості вітру [21] при  ;   та   – стандарт та коефіцієнт варіації випадкового процесу  .

Перепишемо формулу (12) у більш зручній формі. Для цього дамо фор-мульне визначення величинам  ,   та  ,  :

де   і   – характеристичний максимум та характеристична інтенсив-ність випадкового процесу середнього швидкісного напору  ;   – харак-теристичний максимум випадкових процесів реакцій споруди:

Підставляючи (14) і (15) у вираз (12), остаточно матимемо:

Нижня межа інтегрування покладена рівною нулю за рахунок того, що добуток  , або, що теж саме  , при будь-яких вихід-них даних не набуває значень менших дев’яти; звідси слідує, що  .

Для знаходження інтегральної функції розподілу максимумів випадкової величини   залучимо метод умовних ймовірностей, згідно якого:

де   – інтегральна функція розподілу випадкової величини  .

Підставивши формульне визначення інтегральної   та диферен-ціальної   функцій та скориставшись підстановкою Барричеллі у формі отримаємо:

Формули (18) та (19) однозначно вирішують задачу стосовно розподілу максимумів випадкового процесу   реакції споруди, викликаною дією обох складових вітрового потоку. Проте, не зважаючи на лаконічну форму записів цих формул, безпосереднє застосування їх на практиці вимагає залу-чення процедури чисельного інтегрування, що з точки зору інженерного під-ходу є незручним. У зв’язку з цим були виконані пошуки аналітичної альтер-нативи для функцій   і  . Дивлячись на структуру вира-зу (19), логічно припустити, що подвійний експоненціальний розподіл повинен достатньо точно відповідати вихідній функції. Для перевірки цього знайдемо статистичні характеристики максимумів реакції  , вираженої добутком двох випадкових величин  :

де   та   – математичне сподівання і стандарт статичної реакції споруди;   та   – безрозмірні коефіцієнти, які враховують частотно-часову струк-туру обох складових вітрового потоку та динамічні властивості споруди:

  – постійна Ейлера-Маскероні.

Для інтегральної функції розподілу максимумів реакції споруди матимемо загальний вираз подвійного експоненціального закону:

де параметри розподілу

Обчислення функцій за формулами (19) і (24) при варіюванні геометричних параметрів споруд та вітрового режиму місцевості показали, що відмінність в результатах не перевищує 1.5%. З огляду на це, можна з повною впевненістю рекомендувати формулу (24), у поєднанні із (20) і (21), для безпосереднього практичного застосування.

Висновки. Розглянутий в роботі підхід із статистичної оцінки параметрів узагальненої реакції споруд у різних просторах та процедура розрахунку показників надійності може застосовуватись для споруд, розрахункова схема яких описується вертикальним континуальним стрижнем. Процедура оперує аналітичними виразами і має достатню для інженерних розрахунків точність.

 

1. Davenport A.G. Gust Loading Factors / A.G. Davenport // Journal of Structural Division. – ASCE, 1967. − vol. 93. − № 3. −P. 11-34.

2. Davenport A.G. Note on the Distribution of the Largest Value of a Random Function with Application to Gust Loading / Proc. Instn Civ. Engrs., London, UK, №24. – 1964. – P. 187-196.

3. Davenport A.G. The Application of Statistical Concepts to the Wind Loading of Structures / Proc. Instn Civ. Engrs., London, UK, №19. – 1961. – P. 449-472.

4. Dyrbye C., Hansen S.O. Wind Loads on Structures. New York: John Wiley & Sons. 1999. — 229 p. — ISBN 0-471-95651-1.

5. Holmes J. D: Effective Static Load Distributions in Wind engineering // Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, Vol. 90 – 2002. – P.91-109.

6. Holmes J.D. Along-Wind Response of Lattice Towers: Part I – Derivation of Expressions for Gust Response Factors // Engineering Structures, Vol.16. – 1994. – P. 287-292.

7. Holmes J.D. Along-Wind Response of Lattice Towers: Part ІI – Aerodynamic Damping and Deflections // Engineering Structures, Vol.18. – 1996. – P. 483-488.

8. Holmes J.D. Along-Wind Response of Lattice Towers: Part ІІI – Effective  load  distribution // Engineering Structures, Vol.18. – 1996. – P. 489-494.

9. Holmes J.D. Wind loading of structures. Great Britain: Eastbound. 2005. — 356 p. — ISBN 0-419-24610-X.

10. Kareem A. Fluctuating wind loads on buildings / Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE 108. – 1982. – P. 1086-1102.

11. Kareem A. Lateral-torsional Motion of Tall Buildings to Wind Loads / Journal of Structural Engineering, ASCE 111. – 1985. – P. 2479-2496.

12. Kareem A. Wind-excited Response of Buildings in Higher Modes / Journal of the Structural Division, ASCE 107. – 1981. – P. 701-706.

13. Kasperski M., Niemann H.J. The L.R.C. (Load Response-Correlation) Method – a General Method for Estimating Unfavorable Wind Load Distributions for Linear and Non-linear structural behavior / Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, №41-44. – 1992. – P. 1753-1763.

14. Katsumura A., Tamura Y. and Nakamura O. Universal Wind Load Distribution Reproducing Maximum Load Effects on Structural Members / Proceedings of the 5th International Colloquium on Bluff Body Aerodynamics & Applications, Ottawa, Canada, 2004. – P. 351-354.

15. Piccardo G. and Solari G. A Refined Model for Calculating 3-D Equivalent Static Wind Forces on Structures / Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, №65. – 1996. – P. 21-30.

16. Piccardo G. Solari G. Closed Form Prediction of 3-D Wind-Excited Response of Slender Structures / Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, №74-76. – 1998. – P. 697-708.

17. Piccardo G., Solari G. 3-D Gust Effect Factor for Slender Vertical Structures // Probabilistic Engineering Mechanics, №17. – 2002. – P. 143-155.

18. Piccardo G., Solari G. 3D Wind-Excited Response of Slender Structures: Closed-Form Solution // Journal of Structural Engineering, Vol. 126, №8, August, 2000. – P. 936-943.

19. Piccardo G., Solari G. Generalized Equivalent Spectrum Technique / Wind and Structures, №1. – 1998. – P. 161-174.

20. Пичугин С.Ф. Ветровая нагрузка на строительные конструкции / С.Ф. Пичугин, А.В. Махинько. − Полтава: АСМІ, 2005. − 342 с.