Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (093) 202-63-01
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Інтегрування диференціальних рівнянь чисельними методами Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку

Предмет: 
Тип роботи: 
Інше
К-сть сторінок: 
18
Мова: 
Українська
Оцінка: 

ЗМІСТ

Вступ
1 Постановка задачі
2 Метод Ейлера з півкроком
3 Метод Рунге-Кутта 4-го порядку
4 Результати розрахунків
Висновки
Список джерел інформації 
Додаток А
Додаток Б
 
ВСТУП
 
Математика як наука виникла у связі з необхідністю рішення практичних завдань: вимірів на місцевості, навігації й т.д. Внаслідок цього математика була чисельною математикою, її метою було одержання рішення у вигляді числа.
Теперішній час характерний різким розширенням додатків математики, багато в чому пов'язаним зі створенням і розвитком засобів обчислювальної техніки.
Величезна швидкодія цифрових обчислювальних машин (ЦОМ) відкриває нові широкі можливості для застосування загальних математичних методів дослідження в проблемах фізики, механіки, техніки й багатьох інших областей.
Виняткове значення мають ЦОМ для автоматичного керування рухомими об'єктами, наприклад космічними апаратами. Велика також роль ЦОМ для розвитку самої математики. ЦОМ використовуються для рішень алгебраїчних, трансцендентних і диференціальних рівнянь, для рішення складних функціональних нерівностей і т.п.
Таким чином, створення ЦОМ знаменує рішучий стрибок по шляху прогресу точних і технічних наук нашого часу.
 
 
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Дано систему диференціальних рівнянь
 
Задано початкові умови:    і інтервал інтегрування:    
Необхідно проінтегрувати рівняння методами Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку й зрівняти отримані результати.
 
2 МЕТОД ЕЙЛЕРА З ПІВКРОКОМ
Метод Эйлера — найбільш простий чисельний метод рішення систем звичайних диференціальних рівнянь [1, 2]. Уперше описаний Леонардом Ейлером в 1768 році в роботі «Інтегральне вирахування». Метод Ейлера є явним, однокроковим методом першого порядку точності, заснованому на апроксимації інтегральної кривої кусочно-лінійною функцією, т.зв.  ламаної Ейлера.
Ламана Ейлера (червона лінія) - наближене рішення в п'яти вузлах задачі Коші й точне рішення цієї задачі (виділено синім кольором, рис. 2.1).
 
Рисунок 2.1 Метод Ейлера
Розглянемо диференціальне рівняння
 
с початковою умовою 
 
Вибравши крок інтегрування  , покладемо       .
Відповідно до методу Ейлера послідовні значення шуканого рішення обчислюються по наближеній формулі
 
Більше точним є метод Ейлера з півкроком, при якому спочатку обчислюють проміжні значення        і находять значення напрямку поля інтегральних кривих у середній крапці  , тобто   , а потім знаходять (рис. 2.2):      .
 
Рисунок 2.2 Метод Ейлера з півкроком
Алгоритм метода Эйлера с полушагом:
Вводимо цілу змінну  ,   где    , і крок інтегрування за часом  . Для      виробляємо обчислення в циклі по  :
 
Результати інтегрування   виводимо через кожні   кроків.
 
3 МЕТОД РУНГЕ-КУТТА 4-го ПОРЯДКУ
Метод Рунге-Кутта найбільше часто вживається при чисельному відшуканні розв’язку задачі Коші (2.1), при умові (2.2) і дозволяє одержати наближення високої точності.
Геометрично цей метод для задачі Коші також полягає в тому, що на малому відрізку [х; х+h] інтегральна крива у=у(х) рівняння (2.1) заміняється відрізком прямої, що проходить через точку (х; у(х)). Однак в основу методу покладений більше тонкий, чим у методах Ейлера, підхід до визначення напрямку цього відрізка прямій.
Нехай відрізок   розділений на п рівних частин точками  ,   і визначені наближені значення   розв’язку диференціального рівняння відповідно в точках  . Переходимо до відрізка   й відшукання   (рис. 3.1). 
 
Рисунок 3.1 Метод Рунге-Кутта
Визначаємо  − напрямок дотичної до інтегральної кривої в точці  , і точку перетину прямих  і  , тобто точку  .
Знаходимо напрямок дотичної в точці  :   і із точки   проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом  :   до перетину із прямою  . Одержуємо точку  . Знаходимо напрямок дотичної в точці  :   і із точки   проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом  :   до перетину із прямою  . Одержуємо точку  . Далі визначаємо напрямок дотичної в точці  :  .
Остаточний напрямок відрізка ламаної, що представляє наближений розв’язок задачі, буде рівним    і проводимо із точки   пряму  , до перетинання із прямої   в точці  , де    вважаємо наближеним значенням розв’язку в точці   (рис. 3.1). 
Метод Рунге-Кутта 4-го порядку здійснює наступний алгоритм:
Передбачаються заданими рівняння  , початкова умова   і відрізок  .
1. Задаємо число п точок поділу відрізка   й обчислюємо крок  . Вважаємо відомими   й переходимо до дії 2.
2. Нехай знайдені  . Визначаємо
 
Якщо   (k+1=n), то процес закінчений. Числа   представляють наближені значення шуканого розв’язку в точках  .
Якщо ж   (k+1<n),  то повторюємо дію 2, вважаючи вихідним  .
Всі розрахунки по алгоритму зручно оформляти у вигляді таблиці.
Обчислення по методу Рунге-Кутта значно ускладнені в порівнянні з методом Ейлера, але за рахунок цього він дає меншу похибку при заміні точного розв’язку  наближеним  . 
З теорії наближених методів відомо, що при кроці інтегрування h має місце оцінка  , так що похибка одного кроку обчислень (визначення   по  ) має порядок  (або  ). 
Сумарна похибка за п кроків, тобто похибка приблизного наближеного розв’язку  в точці   буде порядку   (або  ). 
Звідси, якщо збільшити п у два рази, похибка приблизно зменшиться в 16 разів. Тому для оцінки наближеного розв’язку  , отриманого із кроком  h, повторюють обчислення із кроком 2h  і за абсолютну похибку приймають число 
 ,
де  − наближений розв’язок  із кроком  2h.
Наведена оцінка є оцінкою методу й не враховує похибку, отриману при округленні.
 
 
4 РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКІВ
Для інтегрування рівнянь (1.1), (1.2) були складені програми на мові С. У Додатку А - програма обчислень за методом Ейлера з півкроком по формулах (2.3), а в Додатку Б - програма обчислень за методом Рунге-Кутта 4-го порядку по формулах (3.1). Результати обчислень зведені в таблицю.
 
Висновки
У даній роботі розглянуті два чисельні методи інтегрування системи диференціальних рівнянь: Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку.
Наведено теоретичне обґрунтування кожного методу й алгоритми розрахунків. 
Складено програми мовою С++  і наведені результати розрахунків. 
Порівняння результатів, отриманих різними методами, показало, що більше точним є метод Рунге-Кутта 4-го порядку.
 
Список джерел інформації 
  1. Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон, 
  2. Э.З. Шувалова – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967. – 368 с.
  3. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. – 512 с.
 
Додаток А
Програма обчислень за методом Ейлера з півкроком
 
 
Додаток Б
Програма обчислень за методом Рунге-Кутта 4-го порядку
 
Фото Капча