Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Інтегрування раціональних дробів

Предмет: 
Тип роботи: 
Лекція
К-сть сторінок: 
6
Мова: 
Українська
Оцінка: 
Інтегрування раціональних дробів
 
Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочлени. Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня його чисельника менший від найвищого степеня знаменника . У противному випадку дріб називається неправильним. Інтегруються лише правильні дроби. Неправильний раціональний дріб, у якого степінь чисельника вищий або дорівнює степені знаменника, можна діленням чисельника на знаменник представити його у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, в якого степінь чисельника нижчий за степінь знаменника.
Приклад. Задано неправильний дріб
Поділимо чисельник на знаменник і отримаємо:
 Найпростішими раціональними дробами І, ІІ, ІІІ та ІV називають правильні дроби вигляду:
І.
ІІ. , ціле додатне число).
ІІІ.
ІV. ціле додатне число і
Умова означає, що квадратний тричлен не має дійсних коренів і на множники не розкладається.
Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування.
І. .(1.1)
ІІ. (1.2)
При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ – го типу необхідно виконати перетворення.
ІІІ.
 Інтеграл від найпростішого дробу ІV-го типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу типу ІІІ.
Інтеграл від дробово-раціональної функції , де правильний дріб, можна знайти (виразити через елементарні функції) шляхом розкладу на доданки, які завжди приводяться до формул інтегрування. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника . Можливі наступні випадки:
1. Корені знаменника тільки дійсні та різні числа, тобто
В цьому випадку правильний дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:
де - невизначені коефіцієнти, які знаходяться з тотожності, що написана вище.
2. Корені знаменника тільки дійсні числа, причому деякі з них кратні, тобто
Тоді правильний дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го та 2-го типів:
Де невизначені коефіцієнти знаходяться з тотожності, що написана вище.
3. Корені знаменника дійсні числа, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто
 В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го, ІІ-го та ІІІ-го типів
 Де невизначені коефіцієнти, які необхідно знати.
Розв’язання прикладів.
Знайти інтеграли.
Приклад 1.
Розв’язок. Підінтегральна функція - це правильний раціональний дріб, знаменник якого розкладається на множники , тому даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів типу І:
Невідомі коефіцієнти А, В, С будемо знаходити методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину одержаної вище рівності необхідно привести до спільного знаменника. Отримаємо
Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто
 Остання рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях х в обох частинах рівності рівні, тобто
 Отримали систему рівнянь, з якої знаходимо невизначені коефіцієнти
 Підставляємо знайдені значення А, В, С в схему розкладу і отримуємо розклад підінтегральної функції:
 Інтегруючи останню рівність маємо:
 Приклад 2.
Розв’язок. Підінтегральна функція – це правильний нескоротний раціональний дріб, знаменник якого містить лише дійсні корені, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типу.
 Визначимо невідомі коефіцієнти А, В, С, D, та Е методом невизначених коефіцієнтів та методом задання частинних значень, які доцільно комбінувати. Праву частину рівності приведемо до спільного знаменника, отримаємо:
 Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні:
 Нагадаємо, що отриманий вираз є тотожністю, а через це рівність повинна зберігатися при будь-якому значенні х. При х=-2 отримуємо:
 При
Нам залишилось визначити коефіцієнт В, С, Е. Тепер будемо порівнювати коефіцієнти при однакових степенях х в лівій та правій частинах рівності. Коефіцієнти при х4 в лівій частині дорівнює нулю (х4 в лівій частині відсутній), а в правій С+Е. Через це С+Е=0
Вільний член в лівій частині дорівнює -8, а в правій – 4А-4В+4С-D=2Е.
На основі цього отримуємо друге рівняння: 4А-4В+4С-D-2Е=-8,
в якому А та D відомі ( , маємо
Ми порівняли саме вільні члени, тому що це можливо зробити, не виконуючи множення та піднесення до степені у правій частині рівності.
Для того, щоб отримати третє рівняння для визначення В, С і Е, знову повернемося до способу задання частинних значень.
Якщо х=2, отримуємо:
Знаючи, що , це рівняння прийме вигляд
Таким чином, для визначення В, С і Е отримали систему рівнянь:
 Розв’язавши систему, отримаємо:
 Отже, маємо:
 Тепер розклад підінтегральної функції має вигляд:
Інтегруючи цю рівність, отримуємо:
 Приклад 3.
Розв’язок. Підінтегральна функція – це правильний нескоротний дріб, знаменник якого: . Маємо, що знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, та два дійсних кореня х=0 та х=-1, то даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІІ-го типу
 Невідомі коефіцієнти А, В, М та N будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності потрібно привести до спільного знаменника, отримаємо:
 Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто:
 Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях букви х, ми отримуємо систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів А, В, М, N
 Отже, розклад підінтегральної функції приймає вигляд
 Інтегруючи цю рівність, отримаємо:
Фото Капча