Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Інтегрування тригонометричних функцій

Предмет: 
Тип роботи: 
Лекція
К-сть сторінок: 
4
Мова: 
Українська
Оцінка: 
Інтегрування тригонометричних функцій
 
1. Інтеграли вигляду
2. Інтеграли вигляду
3. Інтеграли вигляду
4. Інтеграли вигляду
5. Інтеграли вигляду
 
1. Інтеграли вигляду
 
 
Інтеграли вигляду, де і - дійсні числа, , знаходиться за допомогою формул:
Наприклад, знайти інтеграли:
 
2. Інтеграли вигляду
 
Розглянемо інтеграли вигляду. Запис означає, що над синусом і косинусом проводяться тільки раціональні операції: додавання та віднімання, множення на сталі величини, піднесення до цілого степеня як додатного, так і від’ємного, ділення. Іншими словами, під символом необхідно розуміти раціональну функцію синуса та косинуса.
Такі інтеграли приводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргументу підстановкою, яку називають універсальною:
 Однак саме внаслідок універсальності ця підстановка часто приводить до складних інтегралів. Більш зручні наступні підстановки:
а) , якщо
б) , якщо
в) , якщо
Наприклад,
Розв’язок. Використаємо універсальну тригонометричну підстановку. Звідки
 
 3. Інтеграли вигляду
 
Нехай хоча б один з показників степеня є непарне число. Нехай . В такому випадку підінтегральний вираз можна перетворити так:
 Застосуємо підстановку .
Інтегральний вираз прийме вигляд . Питання зводиться до інтегрування суми степеневих функцій.
Наприклад.
Розв’язок.
 Введемо підстановку
 Якщо і - обидва показники степенем парні числа. Із тригонометрії відомо, що , .
Застосування цих формул дозволяє понизити степінь підінтегральної функції в розглядуваних інтегралах.
Наприклад.
Розв’язок.
 
4. Інтеграли вигляду
 
Інтеграли вигляду де R – раціональна функція над та . В такому випадку необхідно застосувати підстановку
 
Наприклад,
Розв’язок.
 
5. Інтеграли вигляду
 
Інтеграли вигляду де R- раціональна функція над та . Даний інтеграл за допомогою підстановки:
 зводиться до інтегралу від дробово-раціональної функції.
Наприклад,
Розв’язок.
Фото Капча