Криві другого порядку

Тема 6. Криві другого порядку

 

6.1. Криві другого порядку.Коло

6.2. Еліпс

6.3. Гіпербола

6.4. Парабола

 

6.1. Криві другого порядку. Коло

 

В цьому параграфі розглянемо криві другого порядку, тобто, алгебраїчні лінії на площині, які описуються рівняннями другого степеня відносно їх поточних координатта.

В загальному рівняння кривої другого порядку має вигляд:

(1.63)

В залежності від значень коефіцієнтів (не рахуючи випадків виродження) рівняння (1.63)

визначає одну з чотирьох кривих другого порядку: коло, еліпс, гіперболу чи параболу.

Розглянемо кожну з цих кривих детальніше.

Колом називається множина точок площини, віддаль яких від фіксованої точки яка називається центром кола, є величина стала і дорівнює ( - радіус кола).

Якщо - точка, що лежить на колі, то, за означенням,або 

Підносячи до квадрату, отримаємо рівняння кола радіуса з центром в точці :

(1.64)

Розкривши дужки, рівняння (1.64) запишемо у вигляді

(1.65)

Рівняння (1.65) є частковим випадком рівняння (1.63) при і Справедливе і обернене твердження: якщо в рівнянні (1.63) то воно визначає на площині деяке коло. При цьому рівняння (1.63) називається загальним рівнянням кола. Що б звести загальне рівняння кола до виду (1.64), необхідно поділити його на коефіцієнт при (якщо він не дорівнює одиниці) і члени, що містятьта , доповнити до повного квадрату.

Приклад 15. Знайти координати центра і радіус кола 

Показати розв'язок

Групуючи члени, що містятьта, і доповнюючи їх до повного квадрату, отримаємо:

або звідки- центр,- радіус.

Якщо центр кола знаходиться в початку координат то рівняння (1.64) 

набуває вигляду:

(1.66)

Нехай- точка на колі (1.66) і - кут між радіус-вектором цієї точки і додатнім напрямом осі 

(рис.1.15).

Тоді Рівняння(1.67) називаються параметричними рівняннями кола. В

ролі параметра виступає кут 

 

6.2 Еліпс

 

Еліпсом називається множина точок площини, сума віддалей яких від двох фіксованих точок і цієї площини, які називаються фокусами еліпса, є величина стала (позначимо її ) і більша віддалі між фокусами.

Щоб вивести рівняння еліпса, виберемо систему координат так, щоб вісь пройшла через фокуси, а вісь - через середину відрізка . Введемо позначення: ( фокусна віддаль). Тоді

Нехай точканалежить еліпсу. За означеннямтобто,

(1.68)

Рівняння (1.68) є рівнянням еліпса, але воно незручне для користування. Звільняючись від ірраціональностей,

отримаємо канонічне рівняння еліпса:

(1.69)

де

Той факт, що рівняння еліпса (1.69) містить лише квадрати поточних координат, свідчить про те, що еліпс симетричний відносно осей і початку координат, тобто, є центральною кривою.

При отримуємо а при Точки перетину еліпса з осями координат називаються вершинами еліпса. Віддаль між вершинами і дорівнює і називається великою віссю еліпса (а- велика піввісь); віддаль між вершинами та дорівнює і

називається малою віссю еліпса (b – мала піввісь). Кожний з доданків у лівій частині рівняння (1.69) не

перевищує одиниці, а тому і весь еліпс розміщений всередині прямокутника зі сторонамита

, паралельними відповідно до осей координат та і з центром в початку координат (рис.1.16).

Відношення фокусної віддалі до довжини великої осі називається ексцентриситетом еліпса:

(1.70)

Оскільки в еліпса завжди то 

Ексцентриситет характеризує ступінь стиснення еліпса. Дійсно,

і чим менше (чим більше ), тим еліпс стає більш “стисненим” до осі . Якщо то і еліпс вироджується в коло. Якщо то еліпс вироджується у відрізок осі абсцис.

У випадку, коли центр еліпса знаходиться в точці , а його осі паралельні до осей координат, рівняння еліпса має вигляд

(1.71)

Ввівши параметр - кут між радіус – вектором точка еліпса і додатнім напрямом осі , можна записати параметричні рівняння еліпса:

(1.72)

Приклад 16. Скласти рівняння еліпса, велика піввісь якого дорівнює 4 і ексцентриситет 

Показати розв'язок

ЗаумовоюЗгіднозформулою(1.70)Малапіввісь

Шукане рівняння еліпса має вигляд:

 

6.3. Гіпербола.

 

Гіперболою називається множина точок площини, модуль різниці віддалей яких від двох фіксованих точок і цієї площини, які називаються фокусами гіперболи, є відмінна від нуля стала величина (позначимо її

), менша віддалі між фокусами.

Щоб отримати рівняння гіперболи, виберемо систему координат так, як і при виводі рівняння еліпса

(рис.1.17).

Введемо позначення:(фокусна віддаль), Тоді.Заозначенням,для довільноїточкигіперболимаємо: , тобто,

(1.73)

Рівняння (1.73) є рівнянням гіперболи. Звільнившись від ірраціональностей, після нескладних перетворень отримаємо канонічне рівняння гіперболи:

(1.74)

де 

З рівняння (1.74) видно, що гіпербола, як і еліпс, є центральною кривою.

Покладаючи отримаємо Вісь гіпербола перетинає в двох точках - і . Віддаль між цими точками дорівнює і називається дійсною віссю гіперболи ( - дійсна піввісь). При з рівняння (1.74) отримаємо , що неможливо. З цієї причини число називається уявною віссю гіперболи ( - уявна піввісь).

З рівняння (1.74) випливає, що тобто, або . Якщо необмежено зростає, то також необмежено зростає. Отже вітки гіперболи при необмеженому зростанні прямують до нескінченності.

Гіпербола має дві асимптоти – прямі, до яких необмежено наближаються вітки гіперболи при 

Рівняння асимптот мають вигляд:

(1.75)

Асимптоти проходять через діагоналі прямокутника зі сторонами і , паралельними до осей координат і з центром в початку координат.

Якщо то гіпербола називається рівнобічною. Рівняння рівнобічної гіперболи має вигляд: (1.76)

Гіпербола

(1.77)

називається спряженою до гіперболи (1.74). Вони мають спільні асимптоти, але дійсна вісь гіперболи (1.77),

на відмінну від гіперболи (1.74), лежить на осі (рис.1.18).

Відношення фокусної віддалі до дійсної осі гіперболи

(1.78)

називається її ексцентриситетом. Оскільки у гіперболи то

Ексцентриситет характеризує форму самої гіперболи.

Якщоцентр гіперболизнаходитьсявточці аосі паралельнідоосейкоординат,то її рівняннямаєвигляд: або

(1.79)

Рівняння асимптот гіпербол (1.79)

(1.80)

Приклад 17. Скласти рівняння гіперболи, фокусна віддаль якої дорівнює 16, ексцентриситетцентр

знаходиться в точці і осі паралельні до осей координат.

Показати розв'язок

ОскількитоВраховуючи,щознайдемоПрицьому

 

6.4. Парабола.

 

Шукане рівняння гіперболи має вигляд:

Параболою називається множина точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки , яка називається фокусом параболи, і фіксованої прямої, яка називається директрисою параболи.

Щоб вивести рівняння параболи, виберемо систему координат так, щоб вісь пройшла через фокус перпендикулярно до директриси, а вісь- через середину відрізка між фокусом і

директрисою. Введемо позначення- параметр параболи.

Тоді точки і матимуть координати:. Нехай

точканалежить параболі. Її проекцією на директрису є точка

За означенням , тобто,

(1.81)

Рівняння (1.81) і є рівнянням параболи. Підносячи в ньому обидві

(ліву і праву) частини до квадрату і виконуючи необхідні спрощення, отримаємо канонічне рівняння параболи:

(1.82)

З рівняння (1.82) видно що при При - парабола проходить через початок координат. Початок координат є вершиною параболи. Вісь абсцис є віссю симетрії параболи, тому що для кожного відповідає два значення , рівних за абсолютною величиною і протилежних за знаком. При необмеженому зростанні зростає і Парабола (1.82) лежить в правій півплощині і має вигляд, зображений на рисунку 1.19.

На відміну від параболи (1.89) парабола лежить в лівій півплощині (рис.1.20), парабола при лежить вище осі абсцис (рис.1.21), парабола лежить нижче осі абсцис (рис.1.22). Всі ці параболи, як і парабола (1.82), мають вершини в початку координат.

Відношення називається ексцентриситетом параболи.

Якщо вершина параболи (1.82) зміщена відносно початку координат, а вісь симетрії паралельна до осі , то рівняння параболи має вигляд

(1.83)

Якщо вісь симетрії параболи паралельна до осі то рівняння параболи має вигляд:

(1.84)

Приклад 18. Скласти рівняння параболи з вершиною в точці віссю симетрії, паралельною до осі якщо відомо, що парабола проходить через точку 

Показати розв'язок

Рівняння параболи будемо шукати у вигляді:

У настому маємо:

Використовуючи умову проходження параболи через точку знайдемо параметр параболи звідкиШуканерівнянняпараболимаєвигляд

а сама парабола зображена на рисунку

1.23.

На закінчення зазначимо, що криві другого порядку є лініями перетину двопорожнинного кругового конуса площиною. Якщо буде гіпербола.

січна площина перпендикулярна до осі конуса, то в перетині маємо коло. Якщо площина перетинає одну з порожнин конуса і не паралельна до його твірної, то в перетині буде еліпс. Якщо ж січна площина паралельна до твірної конуса, то в перетині отримаємо параболу. У випадку, коли площина перетинає обидві порожнини конуса і паралельна до його осі, кривою перетину