Лекція 2. Об'єкти керування, їх математичні моделі. Характеристики об'єктів керування. Одноємнісні об'єкти. Багатоємнісні об'єкти. Об'єкти з розподіленими параметрами.

 

Будь-яка система автоматичного керування складається з керованого об'єкта і засобів керування. В об'єкті протікають керовані процеси і стан його визначається значеннями керованих параметрів, що залежать від керуючих впливів і впливу навколишнього середовища.

У загальному випадку об'єкт керування О можна представити схемою, наведеною на рис. 2.1, а. Тут сукупність керуючих впливів позначена вектором  , вплив зовнішнього середовища

 

Рис. 2.1. Функціональні схеми об'єктів керування: а — з багатьма керованими величинами; б — з одною керованою величиною.

– вектором  , керовані величини – вектором  . Якщо як об'єкт керування розглядати магістральний канал, розділений на б'єфи, то керованими величинами будуть рівні води в б'єфах, керуючими впливами – приплив води з джерела водозабору, зовнішніми впливами – витрати, опади, фільтрація й інші фактори.

Якщо об'єкт характеризується однією вихідною і однією керованою величиною, то він називається однозв'язним. В однозв'язних об'єктах зовнішні збурення прийнято поділяти на навантаження   і завади f, як це показано на рис. 2.1,б. Якщо вектори   і   мають кілька взаємозалежних координат, то об'єкт називається багатозв’язним.

Технологічний процес, що протікає в будь-якому об'єкті, характеризується визначеним зв'язком між векторами  .

В усталеному режимі зовнішні впливи   не залежать від часу. Тому характеристиками об'єкта є залежності керованих величин від зовнішніх впливів:

 .                                              /2.1/

Залежність у=f(х) для однозв'язного об'єкта при сталому значенні   і відсутності завад називається статичною характеристикою об'єкта. Залежність y=f(F) при х=const і відсутності завад називається навантажувальною характеристикою об'єкта.

Динамічний режим в об'єкті керування виникає при всякій зміні зовнішніх впливів і його вивчення зводиться до дослідження залежності Y(t) при заданих функціях X(t) і F(t). У цьому випадку рівняння /2.1/ приймає вид системи диференціальних рівнянь, що описують зміну кількості енергії або речовини в об'єкті. Здатність об'єкта накопичувати енергію або речовину характеризує ємність об'єкта. Якщо енергія або речовина накопичується в одному місці, то об'єкт називається одноємнісним і в динаміці він описується диференційним рівнянням першого порядку. Якщо в об'єкті накопичується енергія декількох видів, наприклад, механічна, теплова й електромагнітна, або речовина в декількох взаємозв’язаних місцях, то такий об'єкт називається багатоємнісним. Порядок диференційного рівняння, яким описується багатоємнісний об'єкт, дорівнює кількості взаємозалежних місць накопичення речовини або видів і місць накопичення енергії.

Статичні і динамічні характеристики об'єктів можна знайти аналітичними або експериментальними методами. Аналітичні методи вимагають глибоких знань динаміки процесів в різних режимах роботи об'єкта. Для експериментального зняття характеристик необхідні дослідні установки або їх фізичні моделі, а також спеціальна реєструюча апаратура. Тому аналітичним методам надають перевагу.

Розглянемо методику знаходження характеристик найбільше типових у гідромеліорації об'єктів керування.

 

Найпростішим одноємнісним об'єктом є басейн (рис.2.2,а). Керуючим впливом х є приплив води Q1; керованою величиною у - рівень Н, і навантаженням F — витрата води з басейну Q2. Впливом завад (випаровуванням, фільтрацією, зміною атмосферного тиску й ін.) нехтуємо.

За цих умов для нескінченно малого проміжка часу dt рівняння матеріального балансу, що зв'язує величини Н, Q1 і Q2, запишеться у виді

 , /2.2/

де Ω — площа поперечного перерізу басейну.

Рівняння  /2.2/ являє собою математичний опис процесу, що відбувається в басейні при зміні припливу або витрати.

 

Рис. 2.2. Схема об'єкта керування без самовирівнювання (а) і його структурна схема (б).

 

Якщо Q1 = const і Q2 не залежить від Н, то рівняння /2.2/ лінійне. Об'єкт керування, який описується лінійним диференціальним рівнянням першого порядку, називається лінійним одноємнісним об'єктом.

Отже, басейн за умови Q2 = const – лінійний одноємнісний об'єкт і його динамічна характеристика буде рішення рівняння /2.2/.

Інтегруючи /2.2/ для випадку  , знаходимо

 ,    /2.3/

де Н0 – рівень води в басейні в початковий момент часу (t=0).

Вираз /2.3/ показує, що при зміні припливу або витрати рівень змінюється за лінійним законом.

Усталений режим у басейні характеризується Н=const і настає при Q1 = Q2. Усталене значення рівня   можна знайти з рівняння /2.3/, якщо підставити в нього  . При  і Q1 = Q2 права частина рівняння /2.3/ перетворюється у невизначеність виду 0•∞. Таким чином,   може приймати будь-яке значення в межах від нуля до максимального значення, рівного глибині басейну. Об'єкти керування, що мають таку властивість, називаються об'єктами без самовирівнювання.

Структурна схема об'єкта без самовирівнювання показана на рис. 2.2,б. Вона є розімкнутою і складається із сумматора й інтегруючої ланки.

При нульових початкових умовах (при  ) рівняння /2.3/ приймає вид

 /2.4/

і його називають кривою розгону. Відношення (Q1-Q2)/Q називається швидкістю розгону, тому що характеризує зміну рівня за одиницю часу.

Важливою характеристикою басейну є час спорожнення при Q1=0. Його можна знайти, проінтегрувавши рівняння /2.2/ у