+3 8(066) 185-39-18
fПредмет:
Тип роботи:
Лекція
К-сть сторінок:
14
Мова:
Українська
Лекція 2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
План
1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні поняття та означення.
2. Метод Крамера розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
3. Обернена матриця та її знаходження.
4. Матричний спосіб розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
5. Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь.
1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні поняття та означення
Рівняння виду (1) називається лінійним рівнянням з n невідомими: .
— коефіцієнти при невідомих, — вільний член.
Слово лінійне означає, що рівняння 1-го степеня.
Розв’язком рівняння (1) буде такий упорядкований набір чисел , який перетворює наше рівняння в числову тотожність.
Рівняння виду (1) можна використати для побудови системи рівнянь:
Система (2) називається системою m лінійних рівнянь з n невідомими, де
— коефіцієнти при невідомих, числа — вільні члени.
Відмітимо, що коефіцієнти аij при невідомих мають два індекси: перший індекс і вказує номер рівняння, а другий - j вказує номер невідомого, при якому знаходиться цей коефіцієнт.
Так, а32 є коефіцієнт третього рівняння при другому невідомому.
Якщо кількість рівнянь даної системи (m) не дорівнює кількості невідомих (n), то таку систему називають прямокутною системою.
Якщо m=n, то система називається квадратною.
Розв’язком системи (2) будемо називати такий набір чисел , який задовольняє кожне рівняння системи (2). Це буде перетин множин розв’язків кожного рівняння даної системи.
Якщо система (2) має принаймні один розв’язок, то така система називається сумісною.
Якщо ж система (2) зовсім не має розв’язків, то система називається несумісною.
Якщо система (2) має точно один розв’язок, то така система називається визначеною.
Якщо система (2) має більше, ніж один розв’язок, то вона називається невизначеною.
Класифікація систем
Крім того в системі (2) всі вільні члени можуть бути рівні 0. Тоді система має такий вид:
таку систему називають однорідною.
Однорідна система завжди сумісна, тому що вона завжди має принаймні один розв’язок – нульовий .
Нехай задана система лінійних рівнянь з невідомими коефіцієнтами при яких є елементами матриці А, а вільними членами є числа Коефіцієнти системи (1) утворюють основну матрицю системи
Визначник цієї матриці називають основним визначником системи (4) і позначають |А| або (А) або просто .
Для правильного запису основної матриці або основного визначника системи треба бути уважним і записати в і-рядок коефіцієнти і-го рівняння, а в к стовпець коефіцієнти при хк. Якщо в деякому рівнянні немає якогось невідомого, то це означає, що відповідний коефіцієнт дорівнює нулю.
Наприклад, основною матрицею системи буде матриця, тому, що друге рівняння системи записано у нестандартному вигляді (невідомі х1 та х2 переставлені), а в третьому рівнянні відсутнє невідоме х2.
Якщо визначник системи (4), тобто визначник, що складається з коефіцієнтів при невідомих, то система (4) має єдиний розв’язок.
Цей розв’язок можна знайти різними способами.
Якщо
— основна матриця системи (4),
— матриця-стовпець невідомих системи (4),
— матриця-стовпець вільних членів системи (4),
то систему (4) можна записати у матричному вигляді
2. Метод Крамера розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Позначимо через визначник, що утворюється з (5) після заміни його першого стовпчика стовпчиком вільних членів системи (4), аналогічно позначимо через визначник, що утворюється з (5) після заміни його другого стовпчика стовпчиком вільних членів системи (4), …, - замінено останній стовпчик стовпчиком вільних членів.
Тоді розв’язок системи (4) записується у вигляді:
Формули (7) називаються формулами Крамера. Якшо , а хоча б один з , , …., відмінний від нуля, то система (4) розв’язків немає. Якщо ж = =…= =0, то система (4) має безліч розв’язків.
Ми розв’язуватимемо системи 3-ьох рівнянь з 3-ма невідомими.
Розглянемо на прикладі.
Приклад 1. Розв’язати за правилом Крамера систему рівнянь
Розв’язання.
Задана неоднорідна система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з 3-а невідомими х, у та z. Основний визначник цієї системи
Отже, усі вимоги правила Крамера ця система задовольняє, тому її розв'язок можна знайти за формулами. Замінюючи певний стовпець визначника стовпцем вільних членів системи, знайдемо допоміжні визначники:
Підставимо знайдені визначники до формул Крамера і одержимо:
Підставляємо знайдені х, у та z в ліві частини рівнянь заданої системи:
Відповідь: .
Приклад 2. Розв’язати за правилом Крамера систему рівнянь
Розв’язання.
Обчислимо чотири визначники.
Отже, згідно з правилом Крамера
Зробити самостійно перевірку.
Відповідь: .
3. Обернена матриця та її знаходження
Матриця А-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності. Звідси випливає, що обернену матрицю можуть мати лише квадратні матриці. Ці рівності означають, що матриці А та А-1 комутують і їх добуток є одиничною матрицею. Не кожна матриця має обернену матрицю.
Матриця А має обернену матрицю А-1 лише при виконанні умов:
1.Матриця А - квадратна;
2.Визначник матриці , тобто матриця невироджена.
Якщо обернена матриця А-1 до матриці А існує, то її можна знаходити методом Гаусса-Жордана або за формулою:
де Аij -