+3 8(066) 185-39-18
fПредмет:
Тип роботи:
Лекція
К-сть сторінок:
14
Мова:
Українська
поведінку цієї функції при х, близьких до 1.
Функція визначена при х і графік являє собою пряму з виколотою точкою х = 1 (рис. 3), бо функція не визначена в точці х = 1.
Рис.3
Якщо х наближається до 1 (зліва чи справа), то у наближається до 2 (відпов¬ідно знизу чи зверху).
Отже, = 2.
Розглянемо третій приклад. Побудуємо графік функції
(рис.4) і розглянемо поведінку функції при х, що наближається до 1.
Рис.4
При х → 1 (що наближається до 1) границі функції h(x) не існує, оскільки не існує єди¬ного числа, до якого наближається функція при х, що прямує до 1.
(Якщо х наближається до 1 зліва, то h(x) наближається до 1; якщо ж х наближається до 1 справа, то h(x) наближаєть¬ся до 2).
Таким чином:
Якщо при значеннях х, що прямують до дея¬кого числа а, значення функції f(x) прямують до єдиного значення b, то говорять, що при х, що наближається до а, функція f(x) має границю, яка дорівнює b, і це записується так: або f(x) → b при х → а.
Наприклад, використовуючи графіки функцій (рис. 5), з'ясуйте:
Рис.5
1) Чи має границю функція в точці х, що прямує до 2? Якщо має, то чому дорівнює ця границя?
2) Чи залежить існування границі функції в точці від визначе¬ності функції в цій точці?
3) Якщо функція визначена в точці, то чи завжди границя функ¬ції дорівнює значенню функції в цій точці?
Нехай задано деяку функцію, наприклад, f(x) = 2х + 1. Розглянемо таблицю значень цієї функції в точках, що досить близько розташовані до числа 1 (і в самій точці 1), та знайдемо |х – 1| та |f(x) – 3| у відповідних точках.
Х0,50,80,90,990,99911,0011,011,11,5
f(x)22,62,82,982,99833,0023,023,24
|х – 1|0,50,20,10,010,00100,0010,010,10,5
|f(x) – 3|10,40,20,020,00200,0020,020,21
З таблиці видно, що при наближенні значення аргументу до чис¬ла 1 значення функції наближається до числа 3, при цьому по¬хибка значень функції може бути досягнута як завгодно малою, шляхом зменшення похибки аргументу. Дійсно, взявши довільне ε > 0, тоді |f(x) – 3| < ε,
або |2х + 1 – 3| < ε; |2х – 2| < ε, 2|х – 1| < ε; |х – 1| < .
Отже, щоб похибка значень функції не перевищувала ε > 0, слід взяти значення х такі, що .
Число b називається границею функції у = f(x) при , якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х, які задовольняють нерівність 0 < |х – a| < δ, виконується нерівність |f(x) – b| < ε.
Записують це так:
Приклад 1.
Доведіть, що (2x – 1) = 5.
Розв'язання. Задамо довільне ε > 0 і покажемо, що існує δ > 0 таке, що із нерівності |х - 3| < δ випливає нерівність |(2х - 1) - 5| < ε. Маємо |(2х - 1) - 5| < ε,
|2х - 6| < ε; |2(х - 3)| < ε; 2•|х - 3| < ε; |х - 3| < Отже, якщо взяти δ = , то виконання нерівності | x - 3| < δ приведе до виконання нерівності |(2x - 1) - 5| < ε.
Отже, згідно з означенням границі маємо: (2x -1) = 5.
Число b1 називається границею функції у = f(x) при справа (правостороння границя), якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х, які задовольняють нерівність , виконується нерівність |f(x) – b1| < ε.
Записують це так:
Число b2 називається границею функції у = f(x) при зліва (лівостороння границя), якщо для будь-якого ε > 0 існує таке число δ = δ(ε) > 0, що для всіх х, які задовольняють нерівність , виконується нерівність |f(x) – b1| < ε.
Записують це так:
Геометрична інтерпретація границі функції
Рис.6
Дельта-околом точки називається інтервал .
Який би малий – окіл точки b не взяти, повинен існувати такий – окіл точки a, що коли змінюється між і , графік функції знаходиться у смузі шириною між прямими . Підкреслимо, що в точці a функція може набувати значення, яке не дорівнює b, або навіть бути невизначеною. Тому в визначенні границы йдеться саме про нерівність
Властивості границь функції є такими ж, як і властивості границь числової послідовності. У курсі математичного аналізу доводяться такі теореми, які ми приймемо без доведення.
ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦІ
1. Якщо функція f(x) має границю при х → а, то ця границя єдина.
2. Границя сталої функції дорівнює цій сталій , де С — стала. (2)
3. Сталий множник можна виносити за знак границі
Нехай при х → а функція f(x) має границю, яка дорівнює а,