Лекція №2. Об'єкти керування, їх математичні моделі

 ,/2.5/

де W0=ΩH0 – об’єм води в басейні на початку спорожнення.

У басейні з вільним витіканням води через отвір (рис. 2.3, а)

 , /2.6/

де ω - площа отвору; µ - коефіцієнт витікання; g - прискорення вільного падіння.

 

Рис. 2.3. Схема об'єкта керування з самовирівнюванням (а) і його структурна схема (б).

 

Підставивши в рівняння /2.2/ Q2 згідно з рівнянням /2.6/, одержуємо

 ./2.7/

Рівняння /2.7/ є нелінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Тому басейн із вільним витіканням води через отвір називається нелінійним одноємнісним об'єктом.

Інтегруючи /2.7/ у межах від Н=Н0 до Н=0 при Q1 = 0, знаходимо час спорожнення:

 , /2.8/

де Q2 — витрата води при напорі Н0.

З порівняння формул /2.5/ і /2.8/ випливає, що час спорожнення при вільному витіканні в два рази більший, ніж при сталій витраті. 

Знайдемо рішення рівняння /2.7/. При заміні   на у рівняння /2.7/ зводиться до виду

 , /2.9/

де  .

Розділивши змінні в рівнянні /2.9/, одержуємо

 . /2.10/

Інтегруючи /2.10/ при початкових умовах t0 і , знаходимо динамічну характеристику нелінійного об'єкта

або

 . /2.11/

Рівняння /2.11/ є нелінійним трансцендентним рівнянням і показує, що рівень води в басейні є нелінійною функцією припливу Q1. За цим рівнянням можна побудувати залежність H=f(t) для заданого значення Q1.

Структурна схема об'єкта, який описується рівнянням /2.7/, наведена на рис. 2.3,б. Вона замкнена і складається із суматора, інтегруючої ланки і зворотного зв'язку.

Дія зворотного від’ємного зв'язку (гідростатичного тиску) призводить до того, що при зміні припливу рівень змінюється в меншій мірі, ніж при тій же умові в об'єкті без зворотного зв'язку. Крім того, після зняття зовнішнього впливу регульована величина з часом повертається до вихідного стану. Тому такі об'єкти називаються об'єктами із самовирівнюванням.

Аналіз динамічних процесів, що протікають в об'єктах, які описуються нелінійними рівняннями виду /2.11/, досить складний. Тому в теорії автоматичного керування вдаються до лінеаризації рівняння об'єкта, тобто до заміни нелінійного рівняння об'єкта наближеним лінійним рівнянням. Таке спрощення виправдане тим, що в системах автоматичного керування відхилення регульованого параметра об'єкта від заданого значення незначне.

Щоб лінеаризувати рівняння /2.7/, нелінійну залежність /2.6/ в околі точки (Q20, Н0) (рис. 2.4) замінимо лінійною, тобто приймемо

 , /2.12/

де   – відхилення рівня від початкового значення Н0; k0 - коефіцієнт пропорційності між витратою і рівнем.

Для обчислення коефіцієнта k0 залежність /2.6/ в околицях точки (Q20, Н0) розкладемо у ряд Тейлора й обмежимося двома його членами:

 . /2.13/

Рис. 2.4. Навантажувальна характеристика басейна.

 

Порівнюючи вирази /2.12/ і /2.13/, знаходимо

 . /2.14/

Заміняючи в /2.7/ нелінійний член лінійним згідно рівняння /2.12/ і враховуючи, що , одержуємо

 . /2.15/

Динамічну характеристику об'єкта при невеликому збільшенні припливу шукаємо в такий спосіб. Нехай при  . У цьому випадку /2.15/ приймає вид

 , /2.16/

тому що   .

Рівняння /2.16/ описує відхилення рівня води в басейні від усталеного значення і його прийнято записувати у виді

 , /2.17/

де   – стала часу об'єкта;   – коефіцієнт підсилення об'єкта за керуючим впливом.

З порівняння виразу для сталої часу з рівнянням /2.8/ випливає, що стала часу басейну, з якого вода випливає під дією сили тяжіння, чисельно дорівнює часу спорожнення басейну.

Рішення рівняння /2.17/

  /2.18/

називається перехідною функцією об'єкта.

Рівність /2.18/ показує, що при невеликому ступінчастому збільшенні припливу на   рівень змінюється за експоненціальним законом і досягає усталеного значення  . Оскільки стала часу Т і коефіцієнт підсилення k залежать від початкової витрати Q20, то і перехідні функції для різних початкових значень Н0 будуть різними.

На рис. 2.5, а наведена перехідна функція, яка побудована за рівнянням /2.18/, і показано, що піддотична у будь-якій точці цієї кривої чисельно дорівнює сталій часу Т. Якщо перехідна функція знята експериментально, то по ній легко визначити сталу часу і коефіцієнт підсилення  .

 

Рис. 2.5. Перехідні характеристики одноємнісного об'єкта: а – по керуючому впливі; б – по збуренню.

 

Статичну характеристику, зазвичай, знаходять з рівняння об'єкта, прирівнявши нулю всі похідні. Підставляючи у рівняння /2.17/  , одержимо рівняння статичної характеристики:

  /2.19/

або

 . /2.20/

Рівняння /2.20/ показує, що статична характеристика при невеликих   є лінійною і залежить від початкового значення рівня Н0.

Розглянуті динамічні процеси викликані зміною керуючого впливу. При дії на об'єкт збурення, наприклад, зміни витрати, виникає перехідний процес, що також описується рівнянням /2.2/.

Витрату води з басейну можна змінювати шляхом зміни площі отвору. Якщо, наприклад, площа отвору збільшити на Δω, то витрата зросте на

 , /2.21/

 

де Н0 — рівень води в басейні до зміни площі отвору.

Підставивши /2.21/ в рівняння /2.2/ і провівши лінеаризацію, одержимо

 . /2.22/

Рішення рівняння /2.22/

  /2.23/

називається перехідною функцією об'єкта за збуренням. Це рівняння описує зміну  рівня  при  ступінчастому  збільшенні площі отвору (рис. 2.5,б). Щоб одержати перехідну функцію   при зменшенні площі отвору на  , праву частину рівняння необхідно помножити на мінус одиницю.

Залежність

  /2.24/

являє собою навантажувальну характеристику об'єкта у відхиленнях від початкового значення рівня Н0. У виразі /2.24/ знак плюс відноситься до зменшення  , а мінус – до збільшення. З порівняння виразів /2.18/ і /2.23/ випливає, що при дії на об'єкт зовнішніх збурень (X або F) характер перехідного процесу не змінюється.

 

Крім одноємнісних, часто приходиться досліджувати багатоємнісні об'єкти. Прикладом багатоємнісного об'єкта може служити об'єкт, що складається з двох сполучених резервуарів (рис. 2.6). Динаміка такого об'єкта описується системою рівнянь

  /2.25/

за умови, що втратою напору в з’єднувальній трубі сталого поперечного перерізу   можна знехтувати.

У розглянутому об'єкті кожний з векторів зовнішніх збурень і керованих величинах має по дві компоненти:

 .

Τаκ як кожний із рівнів Н1 і Н2 залежить від Q1, Q2, Q1р і Q2p, то об'єкт багатозв’язаний. Речовина в ньому накопичується

 

Рис. 2.6. Схема двоємнісного об'єкта.

 

у двох місцях. Тому такий об'єкт називають двоємнісним.

Систему /2.25/ можна лінеаризувати описаним вище методом. Після лінеаризації перехідні функції   і  при дії одного із збурень будуть представляти рішення диференціального рівняння другого порядку. Динамічні і статичні характеристики елементів, які описуються диференціальним рівнянням другого порядку, докладно досліджуються в підрозділі 3.2 і тому тут не розглядаються.

 

Розглянуті об'єкти керування відносяться до об'єктів із зосередженими параметрами, тому що керовані величини, наприклад рівні, приймаються однаковими у всіх точках об'єкта. Якщо відстань між розташуванням місць припливу і витрати у каналі велика, то рівні в кожен момент часу в різних точках будуть різними. Об'єкти, у яких керовані величини залежать від зовнішніх впливів і координат точок, називаються об'єктами з розподіленими параметрами. Такими об'єктами є довгий трубопровід, канал, меліороване поле тощо.

Динамічні процеси в об'єктах з розподіленими параметрами описуються диференціальними рівняннями з частковими похідними. Наприклад, довгий сталого перерізу трубопровід, по якому під тиском протікає ламінарний потік води й у якому можна знехтувати тертям, зміною швидкості звуку й іншими другорядними факторами, описується рівняннями Η. Ε. Жуковського:

 , /2.26/

де а - швидкість звуку в трубопроводі; h=H/Hн і q=Q/Qн - відносні зміни напору і витрати; Нн і Qн – номінальні значення;  ; v – швидкість руху води.

Рішення системи /2.26/ залежить від граничних умов, що визначаються режимом роботи регулюючих пристроїв.

При зміні витрати в трубопроводі виникають хвилі тиску і швидкості, які поширюються уздовж трубопроводу зі швидкістю звуку і по черзі відбиваються від регулюючих пристроїв, що знаходяться на його кінцях. При швидкому закритті регулюючого пристрою під дією сил інерції водного потоку відбувається підвищення тиску, що потім у результаті відбивання багаторазово повторюється. Це явище називається гідравлічним ударом і часто стає причиною аварій.

Перехідні процеси в даному випадку складаються з послідовності процесів, що виникають у дискретні моменти часу , 2, 3, ..., тобто в моменти відбивання хвиль від границь трубопроводу, де  - час проходження по трубопроводу звукової хвилі.

Якщо розглядати дію тільки першої хвилі, то перехідний процес у точці, яка знаходиться на віддалі х від місця прикладання зовнішнього впливу, можна записати у виді

  /2.27

де Υ – перехідний процес у ланці з умовно зосередженими параметрами;   – час транспортного запізнення, рівний часу поширення сигналу керування в конкретному середовищі — континуумі матеріальних точок, наприклад, у воді, ґрунті тощо, на відстань х. Це запізнення назване транспортним, очевидно, тому, що воно відображає рух матеріального середовища або носія інформації керування.

Ланка з умовно зосередженими параметрами являє собою об'єкт, у якому зовнішнє збурення розподілене по всьому континуумі точок.

Рис. 2.7. Перехідна характеристика об'єкта з запізнюванням.

 

У ряді об'єктів керування після дії зовнішнього збурення сигнал на виході вимірювального пристрою спочатку змінюється дуже повільно, а потім – за законом, близьким до експоненціального (рис. 2.7). Це зумовлено як інерційністю вимірювального перетворювача, так і конструктивними особливостями об'єкта.

Графік на рис.2.7 можна наближено апроксимувати експонентою зі сталою часу Т і запізненням, яке називають перехідним запізненням об'єкта.

Отже, процеси, що протікають в об'єктах керування, мають визначений математичний опис, який прийнято називати математичною моделлю об'єкта. Знання математичних моделей об'єктів необхідно як при проектуванні, так і при налагодженні систем автоматичного керування.