Математичне моделювання безконтактної рівноваги магнітних систем

Аналіз показує, що тільки для кута   потенціальна енергія має мінімум, так як коефіцієнти квадратичної форми   мають вигляд: 

тому форма   є позитивно визначеною, що відповідає стійкій магнітній левітації диполя з магнітним моментом, орієнтованим паралельно до поверхні надпровідної чаші.

 

 

1.Побудовано нові математичні моделі, що описують магнітну взаємодію систем, які складаються із постійних магнітів та надпровідних котушок. 

2.Доведено існування МПЯ шляхом аналізу конкретних конфігурацій тіл.

3.Отримано нове аналітичне рішення задачі про магнітну левітацію диполя під надпровідним кільцем.

4.Доведено існування просторової МПЯ у системі магнітний диполь - надпровідна сфера.

5.Показано, що МПЯ є наслідком обопільної взаємодії у системі магнітних тіл, тобто рівновага досягається завдяки взаємному впливу через наведені струми, а щоб ці струми не згасали, у системі необхідно мати хоча б один надпровідник.

6.Показано, що МПЯ та магнітна левітація можливі як мінімум на основі двох принципово різних магнітних явищ, а саме, ефекту Козоріза та ефекту діамагнітного відштовхування. У першому випадку магнітна левітація можлива у вигляді магнітного підвісу, а у другому - тільки у вигляді магнітної подушки.

7.Показано, що системи з МПЯ завжди здатні виявляти магнітну левітацію, але не навпаки. 

8.Показано, що є такі конфігурації магнітних тіл, у яких доведено неможливість існування МПЯ, але існує магнітна левітація.

 

 

прикладне математичне дослідження статична рівновага

1.Демуцкий В.П., Зуб С.С., Рашкован В.М., Половин Р.П. Корректна ли задача о динамическом хаосе? // Вестн. Харьковского университета. -1998. -№421.-С.82-88. 

2.Демуцкий В.П., Зуб С.С., Рашкован В.М. Статически устойчивые конфигурации магнитно взаимодействующих тел // Вестн. Харьковского университета.-1998.-№421. -С.89-94.

3.Демуцкий В.П., Зуб С.С., Рашкован В.М. Метод Рауса и принцип Герца для электромеханических систем, состоящих из постоянных магнитов и сверхпроводящих катушек и их применение при исследовании магнитной левитации // Вестн. Харьковского университета. -1998. -№421. -С.95-100.

4.Зуб С.С. Взаимодействие магнитного диполя с внутренней поверхностью сверхпроводящей сферы. //  Труды ХАИ, -Харьков, -1997. -С.317-321.

5.Рашкован В.М., Зуб С.С. Основные магнитные свойства произвольно расположенных токовых колец // Труды ХАИ, -Харьков, -1997. -С.311-316.

6.Рашкован В.М., Пигнастый О.М., Попович Д.В., Зуб С.С. Устойчивость стационарных орбит зарядов в формирующих ячейках СП-ускорителей // Труды ХАИ, -Харьков, -1995. -С.324-328.

7.Rashkovan V.M., Dashkov A.V., Pignasty O.M., Zub S.S. The dynamic motion stability for the superconductive coupling system // Proc. Fifth Int. Conference “New Leading-Edge Technologies in Machine Building”. -Rybachie, -1996. -P.233-235.

8.Rashkovan V.M., Novosad V.A., Lyakhno V.J., Pignasty O.M., Zub S.S. Magnetic system of space object coupling // Proc. Fifth Int. Conference “New Leading-Edge Technologies in Machine Building”. -Rybachie, -1996. -P.363-365.

9.Rashkovan V.M., Zub S.S. Calculation of the Principal Magnetic Properties of Two Current Circles with Arbitrary Relative Position // Int. Symposium on Non-Linear Electromagnetic Systems.-Braunschweig (Germany). -1997. -P.126.

10.Рашкован В.М., Зуб С.С. Исследование на устойчивость  многокольцовых магнитно-взаимодействующих сверхпроводящих систем // Труды Междунар. конф. “Моделирование и исследование устойчивости систем”. -Том 2. -Киев: Киевский университет. -1997. -С.86.

 

 

Зуб С.С. Математичне моделювання бесконтактної рівноваги магнітних систем. - Рукопис.

 

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут проблем машинобудування імені А.М. Підгорного НАН України, Харків, Україна, 1999 р.  

Дисертацію присвячено розробці нових математичних моделей електромеханіки та розв'язанню проблеми щодо можливості існування стійкої бесконтактної статичної рівноваги тіл, які взаємодіють виключно магнітними силами, а також вивченню фізичних механізмів здійснення такої рівноваги. 

У дисертації розглядаються два можливі класи бесконтактної статичної рівноваги, а саме, рівновага, зумовлена мінімумом магнітної потенційної енергії, так звана магнітна потенційна яма (МПЯ), та рівновага, відома як магнітна левітація. Отримано конструктивні докази існування МПЯ, тобто пред'являються декілька конкретних конфігурацій магнітних тіл, у яких доводиться (як правило, аналітично) наявність дійсного мінімуму магнітної потенційної енергії. Показано, що як МПЯ, так і магнітна левітація можливі, як мінімум, на основі двох принципово різних магнітних явищ, а саме, ефекту диамагнітного відштовхування та ефекту Козореза. У першому випадку магнітна левитация можлива виключно у вигляді магнітної подушки, а в другому -  у вигляді магнітного підвісу. 

Ключові слова: математичне моделювання, стійкість, теорема Ірншоу, ефект діамагнітного відштовхування, ефект Козоріза, конфігурації магнітних тіл, магнітна левітація, МПЯ, задача Неймана.

 

Zub S.S. Mathematical modeling of the magnetic systems contact free equilibrium. - Manuscript.

 

Thesis for a candidate's degree in physical and mathematical sciences by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - Institute for Problems in Machinery named by A.M.Pidgorny of NASU, Kharkov, Ukraine, 1999.  

Dissertation is devoted  to the elaboration of new electromechanics mathematical models and to the solving of the possibility of steady contact free static equilibrium bodies (interacting only by magnetic forces)  question, and also to the studding of the physical mechanisms of such equilibrium realization. In dissertation two possible types of the free contact static equilibrium are considered, namely, the equilibrium, conditioned by the minimum of the magnetic potential energy, so called: Magnetic Potential Well (MPW), and the equilibrium, reputed as the MagLev.The constructive proofs of the MPW existence are got, a few concrete configurations of the magnetic bodies are designed, in latter the presence of strict minimum of magnetic potential energy is proved (analytically, as a rule). It is shown, that MPW, as well as the MagLev is possible on the base of two fundamentally diverse magnetic phenomena, namely, on the diamagnetic repulsion effect and the effect by Kozoriz. In the first case the MagLev is possible only in a form of the magnetic pillow, and in second one - in a form of the magnetic suspension.

Key words: mathematical modeling, stability, theorem by Irnsho, the diamagnetic repulsion effect, effect by Kozoriz, magnetic bodies configurations, MagLev, Magnetic Potential Well, Neyman's task.

 

Зуб С.С. Математическое моделирование бесконтактного равновесия магнитных систем. - Рукопись.

 

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. -Институт проблем машиностроения имени А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, Украина, 1999 г.  

Известная гипотеза о статической неустойчивости (Ирншоу, Браунбек) электрических, магнитных и гравитационных систем с одной стороны и практическая ценность достижения такого равновесия с другой стороны обуславливает постановку задачи о бесконтактном равновесии в магнитных системах. 

В диссертации разрабатываются новые математические модели электромеханики и решается вопрос о возможности устойчивого бесконтактного статического равновесия тел, взаимодействующих между собой и с окружающими их телами исключительно магнитными силами. Эта задача о поиске минимума магнитной потенциальной энергии еще называется задачей о магнитной потенциальной яму (МПЯ). Исследуются физические механизмы, обеспечивающие устойчивость равновесия в таком взаимодействии. 

Для описания расширенного класса электромеханических систем, включающих постоянные магниты и сверхпроводящие катушки, был модифицирован классический вариант лагранжевого формализма. Получены новые аналитические формулы для взаимной индуктивности, силовых и энергетических характеристик магнитных систем, состоящих из проводящих контуров кольцевой формы, произвольно ориентированных друг относительно друга, и разработаны алгоритмы их вычисления.

Построены новые математические модели, описывающие магнитное взаимодействие систем, состоящих из постоянных магнитов и сверхпроводящих катушек. 

Сформулирована и доказана теорема о неустойчивости системы неподвижных магнитных диполей, которая является аналогом теоремы Ирншоу в электростатике. 

Рассмотрены задачи о двух возможных типах бесконтактного статического равновесия систем, а именно, магнитная левитация и МПЯ. 

Получено новое строго аналитическое решения задачи о магнитной левитации диполя при его взаимодействии со сверхпроводящим кольцом. Анализ решения показывает, что магнитная левитация в этом случае возможна только в виде магнитного подвеса.

Получено конструктивное доказательство существования МПЯ, т.е. предъявляется конкретная конфигурация магнитных тел, для которой аналитически доказывается наличие строгого минимума магнитной потенциальной энергии. 

Показано, что как МПЯ, так и магнитная левитация возможны, как минимум, на основе двух принципиально различных магнитных эффектов: эффекта диамагнитного отталкивания и эффекта Козореза. Причем в первом случае магнитная левитация возможна только в виде магнитной подушки.

Определение скалярного потенциала и поля магнитного диполя внутри сверхпроводящей сферы, а также нахождение магнитной потенциальной энергии взаимодействия диполя с внутренней поверхностью сверхпроводящей сферы позволило доказать существование “пространственной МПЯ” в центре сферы.

Решение данной задачи позволило строго аналитически решить задачу о левитации магнита над вогнутой поверхностью сверхпроводящей чаши, что дает теоретическое описание классического опыта Аркадьева-Капицы. 

Сделан вывод о том, что МПЯ является следствием кооперативности взаимодействия в системе магнитных тел, т.е. равновесие достигается благодаря взаимному влиянию магнитных тел посредством индуцированных токов. Чтобы эти токи не затухали, в системе необходимо наличие хотя бы одного сверхпроводящего тела.

Показано, что системы с МПЯ всегда способны проявлять магнитную левитацию, причем обратное неверно; а также, что имеются конфигурации магнитных тел, в которых существование МПЯ невозможно, но магнитную левитацию можно осуществить.

Ключевые слова: математическое моделирование, устойчивость, теорема Ирншоу, эффект диамагнитного отталкивания, эффект Козореза, конфигурации магнитных тел, магнитная левитация, МПЯ, задача Неймана.