Мiнiмаксне оцінювання за неповними даними функціоналів від розв'язків крайових задач

Київський нацiональний університет iменi Tараса Шевченка

 

КОВАЛЮК Алекс

 

УДК 517. 977

 

 

01. 05. 04 – системний аналiз i теорiя оптимальних рiшень

 

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук

 

Київ – 2002

 

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Київському нацiональному унiверситетi iменi Tараса Шевченка на кафедрi системного аналiзу та теорії прийняття рiшень.

Науковий керiвник: доктор фiзико-математичних наук Подлипенко Юрiй Костянтинович, провiдний науковий спiвробiтник кафедри системного аналiзу та прийняття рiшень Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Офiцiнi опоненти: доктор фiзико-математичних наук, професор Кісельова Олена Михайлівна, завiдувач кафедрою обчислювальної математики та математичної кібернетики Дніпропетровського національного унiверситету; кандидат фiзико-математичних наук, доцент Марценюк Василь Петрович, завідувач кафедри медичної інформатики Тернопільської державної медичної академії.

Провiдна установа: Iнститут кiбернетики НАН України, вiддiл оптимізації керованих процесів.

Захист вiдбудеться 13 червня 2002 р. о 14 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26. 001. 09 Київського нацiонального унiверситету iменi Tараса Шевченка (03127, Київ, просп. Глушкова, 2, корпус 6, факультет кiбернетики), ауд. 40.

З дисертацiєю можна ознайомитись у науковiй бiблiотецi Київського нацiонального унiверситету iменi Tараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розiсланий «8» травня 2002 року

 

 

Актуальність теми дисертації. Теорія мінімаксного оцінювання для систем, які описуються рівняннями різних типів, неперервно розвивається і знаходить застосування при побудові систем керування, функціонуючих в умовах невизначеності, систем автоматизованої обробки результатів експериментів в багатьох галузях природознавства. Дослідження в цьому напрямку, з одного боку, істотно використовують результати теорії керування, одержані в працях Л. С. Понтрягіна, Н. Н. Красовського, А. Б. Куржанського, Ю. С. Осипова, Р. Ф. Габасова і Ф. М. Кирилової, І. В. Гайшуна, Р. Белмана, та їх учнів, а з іншого боку – результати статистичної теорії оцінювання, починаючи з робіт А. Н. Колмогорова, Н. Винера, Р. Е. Калмана і Р. С. Б'юсі та ін.

Принципові результати для задач мінімаксного оцінювання одержані також в роботах Б. М. Пшеничного, Ф. Л. Черноусько, M. Ф. Кириченко, Б. М. Бублика, О. Г. Наконечного та їх учнів.

Важливий розділ цієї теорії складають питання мінімаксного оцінювання параметрів крайових задач по зашумленим спостереженням.

Однак, не дивлячись на значну кількість робіт в цьому напрямку, задачі мінімаксного оцінювання для одновимірних крайових задач і крайових задач для рівнянь еліптичного типу з спостереженнями розв'язків та їх похідних на деяких поверхнях, що належать області, в якій визначені розв'язки, до теперешнього часу не були досліджені.

Актуальність вивчення цих проблем пов'язана з тим, що в практичних задачах спостереження є або точковими або розподіленими на системі поверхонь (антен), наприклад, в задачах електродинаміки, геофізики, теплофізики і т. п. Крім того, при дослідженні цих питань використовується інформація не тільки про самі процеси, але й про їх похідні, що істотно зменшує похибки відновлювання оцінювання параметрів вивчаємих процесів.

Розробка конструктивних методів мінімаксного оцінювання параметрів для таких задач відкриває можливість їх застосування при розв'язанні задач прогнозування розв'язків, локализації джерел, які створюють дані поля, і ряду інших обернених задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами. Робота виконана у відповідності з планом наукових досліджень, які проводились в рамках госбюджетної теми Міністерства освіти України N 97062 (Дослідження проблем приняття рішень в умовах невизначеності), і виконувалась в рамках договора про співробітництво між ASA Коледжем сучасних комп'ютерних технологій (Нью-Йорк, США) і факультетом кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розробка методів гарантованого оцінювання лінійних функціоналів від розв'язків одновимірних крайових задач і крайових задач для еліптичених рівнянь з спостереженнями функцій та їх похідних.

• Для спеціального вигляду областей, яким належать невідомі параметри і кореляційні функції похибок вимірювань, одержати рівняння, через розв'язки яких виражаються мінімаксні оцінки і похибки оцінювання.

• Довести існування та єдиність узагальнених розв'язків одержаних рівнянь.

• Дослідити задачі мінімаксного середньоквадратичного оцінювання при частково невідомих параметрах задачі (крайових умовах та правих частинах рівнянь).

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі досліджені задачі мінімаксного оцінювання розв'язків крайових задач для нових класів спостережень.

Для лінійних мінімаксних оцінок функціоналів від розв'язків крайових задач еліптичного типу і крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь одержані представлення через новий клас задач спряження для систем інтегро-диференціальних рівнянь.

Доведені нові твердження про загальний вигляд мінімаксних середньоквадратичних похибок оцінювання лінійних неперервних функціоналів від розв'язків лінійних еліптичних рівнянь другого порядку і систем звичайних диференціальних рівнянь.

Одержані в дисертації результати розвивають загальну теорію мінімаксного оцінювання і керування.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи можуть бути використані при побудові систем автоматизованої обробки результатів спостережень процесів фільтрації, теплопроводності і ін., при розв'язуванні задач локалізації джерел, які створюють фізичні поля, що спостерігаються і т. п.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, які складають дисертаційну роботу, одержані особисто здобувачем. В роботах [1], [3] співавторам належить лише постановка задачі.

Апробація