Поняття звичайного диференціального рівняння

Тема 21. Поняття звичайного диференціального рівняння

 

21.1. Звичайні диференціальні рівняння

21.2. Диференціальні рівняння першого порядку

21.3. Рівняння з відокремлюваними змінними

 

21.1. Звичайні диференціальні рівняння

В процесі вивчення явищ природи, розв’язання важливих задач техніки, фізики, хімії, біології та інших наук, пошук зв’язку між одними величинами (функціями) і швидкостями їх зміни відносно інших (незалежних) змінних величин, приводить до складання та розв’язання рівнянь, у яких невідомі функції входять під знак похідної або диференціала. Такі рівняння називаються диференціальними рівняннями. Зупинимось на звичайних диференціальних рівняннях – рівняннях відносно функції однієї змінної.

Звичайним диференціальним рівнянням називається співвідношення

(6.1)

яке пов’язує між собою незалежну змінну , невідому функцію цієї змінної та її похідні

(або диференціали). Функція вважається визначеною і неперервною в деякій областізміни своїх аргументів.

Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, яка в нього входить. Наприклад,

рівняння - першого порядку, рівняння – другого порядку тощо.

Розв’язком диференціального рівняння (6.1) на інтервалі ( ) називається неперервно диференційовна

функція , яка задовольняє умовам:

а) вона неперервно диференційовна на ( ) разів;

б) для всіх ;

в) перетворює рівняння (6.1) в тотожність.

Наприклад, функція є розв’язком рівняння . Справді, вона визначена, неперервна і неперервно диференційовна на інтервалі , при підстановці значень та в дане рівняння воно перетворюється в тотожність .

Якщо розв’язок рівняння (6.1) задано неявно співвідношенням , то його називають інтегралом цього рівняння.

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

Процес знаходження розв’язків називається інтегруванням диференціального рівняння. Задача інтегрування диференціального рівняння полягає в знаходженні всіх розв’язків цього рівняння і вивченні їх властивостей.

 

21.2. Диференціальні рівняння першого порядку

 

диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення

(6.2)

В ряді випадків рівняння (6.2) вдається записати у вигляді

(6.3)

де - задана функція двох змінних.

Рівняння (6.3) називається диференціальним рівнянням, розв’язаним відносно похідної.

Рівняння першого порядку може бути задане в так званій диференціальній формі

(6.4)

де і - задані функції двох змінних.

Для рівняння (6.3) має місце теорема Коші існування і єдиності його розв’язку.

Теорема. Якщо в рівнянні функція і її частинна похідна неперервні в деякій області площини , яка містить точку ; , то існує єдиний розв’язок цього рівняння,

який задовольняє умові: при. З геометричної точки зору існує єдина функція, графік якої проходить через точку;

Умоваприназивається початковою умовою і позначається так: або

Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння, який задовольняє заданій початковій умові , називається задачею Коші.

Нехай - область на площині , в кожній точці якої рівняння (6.3) має єдиний розв’язок. Загальним розв’язком диференціального рівняння (6.3) в області називається функція , яка задовольняє умовам: а) вона є розв’язком заданого рівняння при довільних значеннях сталої ; б) для будь-якої початкової

умови (точка ) існує єдине значення сталої , таке, що функція задовольняє заданій початковій умові, тобто, .

Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, отриманий із загального розв’язку при конкретному значенні . Наприклад, загальним розв’язком рівняння є функція

Частинними розв’язками єтощо.

Розглянемо основні типи диференціальних рівнянь першого порядку і способи їх інтегрування.

 

21.3. Рівняння з відокремлюваними змінними

 

Рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна подати у вигляді

(6.5)

де і - функції, неперервні в області .

Щоб відокремити змінні в рівнянні (6.5), помножимо його обидві частини на. В результаті отримаємо

рівняння з відокремленими змінними

інтегруючи яке, знайдемо загальний інтеграл рівняння (6.5):

(6.6)

Зауваження. Поставивши умовупри всіх , ми можемо втратити ті розв’язки, при яких

Дійсно, якщо при , то функція-константа , очевидно, є розв’язком рівняння (6.5), а тому його загальний розв’язок (інтеграл) в області складається з розв’язку рівняння (6.6) при і розв’язку .

Нехай рівняння з відокремлюваними змінними задано в диференціальній формі

(6.7)

де - деякі неперервні функції при .

Відокремлюючи в рівнянні (6.7) змінні і інтегруючи, отримаємо загальний інтеграл цього рівняння:

(6.8)

Приклад 1. Проінтегрувати рівняння:

а) ; б)

Показати розв'язок

а) Передусім зазначимо, що права частина даного рівняння – функція– та її

частинна похіднанеперервні в області

 тобто, в цій області виконуються умови теореми Коші. Запишемо дане рівняння у вигляді 

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, будемо мати:

звідки. Отримана функція є загальним розв’язком рівняння в області.

Дане рівняння має також розв’язок, який входить в загальний розв’язок при.

б) В даному випадку потрібно знайти частинний розв’ язок, який задовольняє вказаній

початковій умові. Функціянеперервна при всіх. Отже, дане

рівняння визначене в області . Поділивши рівняння

наіпроінтегрувавши,отримаємо:,звідки

або. Це і є загальний розв’язок даного рівняння в області. Рівняння

має також розв’язок, який входить в загальний розв’язок при.

Використовуючи початкову умову, знайдемоі шуканий частинний розв’язок

Цей розв’язок для даної початкової умови є єдиним.