Процедури керування множинним доступом до каналу з паралельною пакетною обробкою

Затримка. Системи, що розглядаються, є системами з очікуванням. Його тривалість – випадкова величина, яка залежить від механізму здійснення затримки. Цей механізм є спільним для всіх протоколів МДСЗ, які ми розглядаємо. Він використовується для того, щоб зменшити ймовірність втрати пакетів, які надходять у систему в момент зайнятості каналу або поточного конфлікту, або пошкоджуються при виникненні конфлікту після їхньої передачі. Затримка є випадковою величиною з експоненціальним розподілом Р{ < 1 + t} = 1-e- t із середнім значенням 1+1/.

Отже, розглядаються моделі масового обслуговування M/D/k (M/D/k/) для систем з синхронним та асинхронним протоколами МДСЗ, та M/G/k - для систем МДСЗ із ПРК й систем із резервуванням (k вказує максимально допустиме число вимог, які обслуговуються одночасно).

У нашому випадку неможливо говорити про відсутність післядії, процес, що описує зміну числа вимог у системі, не є марківським. Однак, під час аналізу систем на основі синхронного та асинхронного протоколів МДСЗ можна побудувати динамічну модель функціонування систем, які ми розглядаємо, як аналог системи Колмогорова-Чєпмена для марківських ланцюгів.

Стан систем обслуговування на основі запропонованих протоколів МДСЗ у деякий момент часу повністю визначається парою [M, N], де N - число вимог, що обслуговуються системою в цей момент часу, а M - кількість відкладених пакетів.

Для опису динаміки ймовірностей станів системи було розглянуто умови можливих переходів між станами ланцюга, що розглядається, та знайдені перехідні ймовірності:

 

  ,  

 ,  

 ,  , (28)

 

де   й   -

 

- ймовірність приходу вимог, які раніш не передавалися, та повторного надходження вимог, які були відкладені раніш, відповідно. Для визначення стаціонарних ймовірностей записано систему різностних рівнянь, що зв’язує ймовірності   в моменти часу t та t+ h. Якщо  , отримаємо в лівій частині рівнянь похідні ймовірностей станів  , в стаціонарному режимі вони обертаються в нуль, що дозволяє отримати систему однорідних рівнянь для знаходження стаціонарних імовірностей:

 

...

 

...

 

 , (29)

...

де параметри системи:    ,  .

Аналітичний розв’язок отриманої нелінійної нескінченновимірної однорідної системи рівнянь не виглядає можливим, тому, вважаючи m та S параметрами, розглядаємо ітераційний процес, який задано системою. При наявності стаціонарного розв’язку він має бути збіжним.

При проведенні чисельного аналізу моделі для k =1 було розглянуто скінченну кількість рівнянь системи. Отримано залежність середньої кількості відкладених пакетів від трафіка. Її вигляд свідчить про те, що зростання заборгованості зі збільшенням трафіка обмежено зверху лише числом відкладених пакетів, котрі розглядаються. Вказаний результат є наслідком обрізання системи рівнянь. При збільшенні максимального числа відкладених пакетів, що розглядаємо характер графіків не змінюється, що дозволяє припустити наявність необмеженого зростання заборгованості.

Твердження 3. У випадку k = 1 виконується:  .

Відомі аналогічні результати, що отримані з аналізу стійкості синхронної Aloha. Стійкість має місце лише за умов «відсутності буферізації». Тобто в припущенні, що кожний новий пакет, котрий з'являється у абонента, перша вимога якого досі знаходиться у системі, втрачається. При цьому існує точка стійкої рівноваги системи, тобто значення трафіку, при якому швидкість виходу вимог з системи співпадає із швидкістю їхнього надходження в систему. Розглянута в роботі модель включає припущення «про нескінченну кількість абонентів». Вважається, що кожний новий пакет, котрий надходить до вузла зі старим пакетом, що не залишив систему, належить новому, віртуальному вузлу. Як відомо, для системи Aloha це спричиняє втрату стійкості, стан заборгованості необмежено зростає. У випадку, що розглядається в роботі, стійкість також відсутня, про що свідчить твердження 3.

Тому аналіз якості системи обслуговування передбачає необхідність розробки іншого підходу. Структурний аналіз тривалості обслуговування, що виконується в роботі, дозволяє з використанням ергодичності системи отримати основні характеристики якості обслуговування.

Середня тривалість однієї затримки дорівнює  , успішного обслуговування -  , та середній час, що втрачає вимога у випадку конфлікту, дорівнює  .

Знайдемо величину W як середнє значення часу за ймовірностним розподілом всіх можливих сценаріїв подій під час перебування вимоги в системі. Кількість затримок може прийняти довільне значення з натурального ряду, як і число попадань у конфлікт. Отже, тривалість перебування кожної вимоги в системі:

 

 , (30)

 

де події tij відповідає ймовірність  .

Середній час перебування вимоги в системі W є зваженою сумою:  . Ймовірності подій зайнятості каналу, успішної передачі та конфлікту є відповідно,    , та  .

Отже, отримано середній час перебування вимоги в системі у вигляді:

 

  (31)

 

Аналогічним чином