Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Рівняння з відокремлюваними змінними

Предмет: 
Тип роботи: 
Контрольна робота
К-сть сторінок: 
3
Мова: 
Українська
Оцінка: 
Рівняння з відокремлюваними змінними
 
Розглянемо рівняння в диференціалах виду
 
 , (1)
 
де   – неперервні функції своїх аргументів.
Диференціальне рівняння (1) називається рівнянням з відокремленими змінними. Його можна переписати таким чином
 
 .
 
Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах
 
 . (2)
 
Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так:
 
 .
 
З умови (2. 36) визначають  . Отже
 
  (3)
 
– розвязок задачі Коші (2). При даних припущеннях особливих розвязків диференціальне рівняння не має.
Рівняння вигляду
  (4)
 
називають рівнянням з відокремлюваними змінними.
Припустимо, що  , тоді розділимо обидві частини рівняння (4) на  , отримаємо
 
 . (5)
 
Аналогічно записуємо
 
  (6)
 
- загальний розвязок диференціального рівняння (4) і
 
  (8)
 
– розвязок задачі Коші (4). При діленні на   ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями  ,  . Дійсно, нехай  , то
 
отже   – розвязок диференціального рівняння (4). Аналогічно  . Якщо ці розвязки не входять в (6) при деяких  , то вони представляють собою особливі розвязки диференціального рівняння (4).
З розвязку   ми повинні виключити точку  , так як в точці   диференціальне рівняння (4) не визначає нахил поля  . По тій же причині з розвязку   виключається точка  .
Таким чином, розвязки   і   примикають до точки   і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.
 
2. Приклад 1
 
Знайти загальний розвязок диференціального рівняння
 
 .
 
Розвязання. Розділяючи змінні отримаємо
 
 .
 
Оскільки  , то задане рівняння перепишемо в такому вигляді
 
 .
 
Отже,  ,  ,
 
 .
Очевидно, що   є частинним розв'язком нашого рівняння і його треба додати до отриманого загального розв'язку.
Фото Капча