Подання натуральних чисел сумами двох та чотирьох квадратів

Актуальність теми. Теорія чисел або вища арифметика - галузь математики, яка розпочалась з вивчення деяких властивостей натуральних чисел, пов'язаних з питаннями подільності і розв'язання алгебраїчних рівнянь у натуральних (а згодом також цілих) числах.

В теорії чисел у широкому розумінні розглядаються як алгебраїчні, так і трансцендентні числа, а також функції різноманітного походження, які пов'язані з арифметикою цілих чисел та їх узагальнень. У дослідженнях з теорії чисел, поряд з елементарними і алгебраїчними методами застосовуються також геометричні і аналітичні.

Розвиток теорії чисел тісно й безпосередньо пов'язане з розвитком цілого ряду розділів математики.

Теорія чисел не тільки широко використовуає методи, розроблені суміжними математичними дисциплінами, але й сама впливає на формування цих дисциплін. Так, наприклад, початок глибоких досліджень у теорії алгебраїчних чисел було пов'язане з так званою проблемою Ферма про можливості існування цілих позитивних рішень неозначеного рівняння, а подальший розвиток цієї теорії вплинуло на сучасну алгебру, а виниклі в теорії чисел поняття «кільця», «ідеалу» є одними йз основних понять всієї математики нашого часу. Ряд питань теорії чисел знаходить застосування на практиці, наприклад у теорії телефонних мереж (кабелів), у кристалографії, при рішенні деяких задач теорії наближених обчислень. 

Важливим компонентом елементарної теорії чисел є питання теорії натуральних чисел, що є безпосереднім розвитком теорії подільності, і питання про представимість чисел у певній формі. Більше загальною є задача розв’язання систем неозначених рівнянь, тобто рівнянь, у яких значення невідомих повинні бути обов'язково цілими числами. 

Стан дослідження проблеми. У розвитку теорії чисел важливу роль відіграли праці Л. Ейлера, ОБ. Рімана. У Росії істотні результати в застосуванні цієї теорії одержали С

Об’єкт дослідження – натуральні числа в системі у елементарної теорії чисел. 

Предмет дослідження – особливості представлення натуральних чисел у вигляді сум квадратів. 

Мета роботи – проаналізувати особливості представлення натуральних чисел у вигляді суми двох і чотирьох квадратів. 

Відповідно до мети роботи визначено наступні її завдання: 

• розглянути історію розвитку теорії чисел;
• проаналізувати основні адитивні проблеми теорії чисел;
• дослідити подання натуральних чисел у вигляді суми двох квадратів та критерії єдиності такого подання;
• дослідити подання натурального числа у вигляді суми чотирьох квадратів;
• проаналізувати випадки застосування отриманих результатів до розв’язування задач елементарної математики.

Методи дослідження. Для реалізації поставлених у роботі завдань нами використовувалися методи аналізу фахової наукової та періодичної літератури, синтетичний метод для узагальнення даних та специфічні математичні методи доказування.

Структура роботи зумовлена метою і завданнями дослідження і включає вступ, два поширені розділи, висновки та список використаних джерел, загальний обсяг роботи склав 28 аркушів.