Рівняння з відокремлюваними змінними

Предмет:

Математика

Тип работы:

Контрольна робота

К-во страниц:

3

Язык:

Українська

Оценка:

Рівняння з відокремлюваними змінними

Розглянемо рівняння в диференціалах виду

, (1)

де – неперервні функції своїх аргументів.

Диференціальне рівняння (1) називається рівнянням з відокремленими змінними. Його можна переписати таким чином

.

Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах

. (2)

Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так:

.

З умови (2. 36) визначають . Отже

(3)

– розвязок задачі Коші (2). При даних припущеннях особливих розвязків диференціальне рівняння не має.

Рівняння вигляду

(4)

називають рівнянням з відокремлюваними змінними.

Припустимо, що , тоді розділимо обидві частини рівняння (4) на , отримаємо

. (5)

Аналогічно записуємо

(6)

- загальний розвязок диференціального рівняння (4) і

(8)

– розвязок задачі Коші (4). При діленні на ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями , . Дійсно, нехай , то

отже – розвязок диференціального рівняння (4). Аналогічно . Якщо ці розвязки не входять в (6) при деяких , то вони представляють собою особливі розвязки диференціального рівняння (4).

З розвязку ми повинні виключити точку , так як в точці диференціальне рівняння (4) не визначає нахил поля . По тій же причині з розвязку виключається точка .

Таким чином, розвязки і примикають до точки і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.

2. Приклад 1

Знайти загальний розвязок диференціального рівняння

.

Розвязання. Розділяючи змінні отримаємо

.

Оскільки , то задане рівняння перепишемо в такому вигляді

.

Отже, , ,

.

Очевидно, що є частинним розв'язком нашого рівняння і його треба додати до отриманого загального розв'язку.