Аналітична механіка

Предмет:

Физика

Тип работы:

Лекція

К-во страниц:

Язык:

Українська

Оценка:

8. АНАЛІТИЧНА МЕХАНІКА

8.1. Принцип Германа – Ейлера – Даламбера для матеріальної точки

Для визначення елементів руху невільної матеріальної точки або системи доцільно застосовувати принцип Даламбера. Цей принцип дає змогу формально розглядати рівняння динаміки як рівняння статики, а це істотно спрощує розв’язок відповідних задач. Принцип Даламбера формулюється так:

якщо умовно зупинити матеріальну точку, приклавши силу інерції , напрямлену в протилежний бік прискоренню і рівну добутку маси точки на прискорення, то точка буде знаходитися в умовній рівновазі. Значить:

(8. 1)

Рис. (8. 1)

Запишемо основне рівняння динаміки для матеріальної точки з масою m відносно інерціальної системи відліку (рис. 8. 1) :

, де – рівнодійна активних сил; – рівнодійна реакції в’язей; – прискорення точки.

Тоді: (1)

Позначимо: – сила інерції точки. Рівняння (1) матиме такий вигляд:

, де . (8. 2)

Рівняння (7. 1) – це математичний вираз принципа Даламбера. Проектуючи (8. 1) на координатні осі, маємо:

(8. 3)

При русі точки по кривій, силу інерції можна розкласти на дві складові:

, де .

8.2. Принцип Германа – Ейлера – Даламбера для механічної системи

Нехай механічна система складається із n точок (рис. 7. 2).

Запишемо принцип Даламбера для кожної із точок:

(1)

Рис. 8. 2

Додавши ці рівняння, одержимо:

(2)

Позначимо:

– головний вектор активних сил;

– головний вектор реакції в’язей;

– головний вектор сил інерції.

Тоді рівняння (2) має вигляд:

. (8. 4)

Якщо в довільний момент часу до кожної точки механічної системи, крім фактично діючих на неї зовнішніх сил, прикласти відповідні сили інерції, то геометрична сума головних векторів активних сил, реакцій в’язей і сил інерцій дорівнює нулю.

Помножимо векторно радіус-вектор кожної точки на відповідне рівняння (1) :

(3)

Додавши ці рівняння одержимо:

. (4)

Позначимо

– головний момент активних сил відносно центра 0;

– головний момент реакцій в’язей відносно центра 0;

– головний момент сил інерції відносно центра 0.

Тоді рівняння (4) матиме вигляд:

. (8. 5)

Якщо в довільний момент часу до кожної точки механічної системи, крім фактично діючих на неї зовнішніх сил, прикласти відповідні сили інерцї, то геометрична сума головних моментів активних сил, реакцій в’язей і сил інерції дорівнює нулю.

Принцип Даламбера раціонально застосовувати у випадках, коли треба визначити реакції в’язей (це безпосередньо випливає із фізичної суті сил інерції, які є реальними у відношені до в’язей).

8.3. Зведення сил інерції твердого тіла в окремих випадках його руху

а). Поступальний рух твердого тіла.

Рис. 8. 3

Якщо тверде тіло рухається поступально, то прискорення всіх його точок геометрично рівні. Сили інерції цих точок складають систему паралельних сил, напрямлених в один бік. (рис. 7. 3).

Така система сил зводиться до рівнодійної сили інерції, яка дорівнює:

, де М – маса тіла, (8. 6)

по модулю (8. 7)

б). Обертальний рух твердого тіла (рис. 8. 4).

Рис. 8. 4.

Центр мас знаходиться на осі обертання. Прикладемо до точки К масою mк сили інерції:

;

Так як центр мас знаходиться на осі обертання, то головний вектор сил інерції

Головний момент інерції дорівнює:

Так як , то:

, (8. 8)

де – момент інерції відносно осі обертання.

в). Плоскопаралельний рух твердого тіла (рис. 8. 5).

Рис. 8. 5

Оскільки плоский рух твердого тіла можна розкласти на поступальний рух разом з центром мас і обертальний рух відносно осі обертання, яка проходить через центр мас, то сили інерції зведуться до головного вектора сили інерції:

, де m – маса тіла (8. 9)

і головного моменту сил інерцій:

. (8. 10)

Зведення сил інерції до головного вектора і головного моменту є дуже важливий етап розв’язування динамічних задач кінетостатики.