Система збіжних сил

 

 

Система сил, лінії дій яких перетинаються в одній точці, називається збіжною. Системи збіжних сил можуть бути плоскими і просторовими.

Нехай на тверде тіло діє збіжна система сил ( ), лінії дій яких перетинаються в точці О (рис.2.1.а).

Використовуючи наслідок з аксіоми 2, перенесемо сили вздовж ліній їх дій в точку О і одержимо еквівалентну систему сил, прикладених до твердого тіла в одній точці (рис.2.1.б).

 

 

Сили, прикладені в одній точці твердого тіла, можна додавати, використовуючи аксіому паралелограма сил. Нехай до тіла в точці О прикладена система чотирьох збіжних сил ( ) (рис.2.2.а) 

Знайдемо рівнодійну   cил   і   (рис.2.2.б)  ,   еквівалентна( ).

До рівнодійної   додамо силу  . Одержимо  ,   еквівалентна ( ).

Складемо рівнодійну   з останньою силою   і одержимо рівнодійну чотирьох сил:  ,   еквівалентна ( ) .

Поширюючи це правило складання векторів на довільну кількість збіжних сил, можна стверджувати, що система збіжних сил еквівалентна одній силі – рівнодійній, яка дорівнює векторній сумі цих сил і прикладена в точці перетину ліній їх дій:

 .(2.1)

Як видно з рис.2.2.б., побудова паралелограмів сил еквівалентна побудові векторного многокутника сил. Для системи сил, зображеної на рис.2.2.а, векторний многокутник сил побудуємо таким чином: до кінця вектора   приєднаємо вектор, геометрично рівний  , а з його кінця відкладемо вектор   і т.д.(рис.2.2.в). Вектор, проведений з точки прикладання першої сили до кінця  , є рівнодійною силою  . Визначення рівнодійної системи збіжних сил за правилом паралелограма або силового многокутника називається геометричним способом визначення рівнодійної.

 

 

Аналітичний спосіб розв'язування задач статики ґрунтується на понятті про проекцію сили на вісь.

Проекція вектора сили на вісь є алгебраїчна величина, яка дорівнює добутку модуля сили на косинус кута між додатнім напрямком осі і вектором сили (рис.2.3).

Fx = прx  = Fcos .                       (2.2)

Відзначимо, що

Fx > 0  при   ;

 Fx = 0  при   ;           Fx < 0  при  .

Проекція вектора сили   на площину Оху є вектор  , що лежить між проекцією початку та кінця цього вектора на площину.

Величина цієї проекції  , де    – кут між вектором сили   і площиною Оxy. Знайдену проекцію сили на площину спроектуємо на вісі Оx і Оy:

             (2.3)

Для розв'язування багатьох задач механіки зручно задавати силу через її проекції на осі прямокутної декартової системи координат (рис.2.5).

 , (2.4)

де   проекції сили   на осі координат;   - одиничні орти осей x, y, z.

За відомими проекціями сили на осі координат можна визначити модуль сили і кути, які вона утворює з координатними осями, за формулами:

 

 

Крім геометричного існує ще й аналітичний спосіб визначення рівнодійної системи збіжних сил. Якщо рівність (2.1) спроектуємо на осі декартової системи координат, то одержимо

 ;  ;  ;         (2.6)

де   - проекції рівнодійної   на осі координат;

     - проекції сили   на осі координат.

Отже, проекція рівнодійної системи збіжних сил на будь-яку з координатних осей дорівнює алгебраїчній сумі проекцій складових сил на відповідну вісь.

Модуль і напрямок рівнодійної   визначають за формулами:

 

 

З означення зрівноваженої системи сил випливає, що тіло може знаходитись у рівновазі під дією даної системи сил тоді, коли рівнодійна  =0. Якщо при побудові силового многокутника виявиться, що кінець вектора останньої сили збігається з початком вектора першої сили, то такий многокутник сил називається замкненим.

Отже, для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб силовий многокутник, побудований на цих силах, був замкненим.

Ця умова рівноваги визначається векторною рівністю

 .(2.8)

Рівність (2.8) називається геометричною умовою рівноваги системи збіжних сил.

 

 

Теорема. Якщо вільне тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією трьох непаралельних сил, що лежать в одній площині, то лінії дій цих сил перетинаються в одній точці.

Доведення. Нехай тіло перебуває в рівновазі під дією трьох непаралельних сил( ) (рис.2.6). Знайдемо точку О перетину ліній дій сил   і   , і перенесемо ці сили в цю точку. Згідно з аксіомою 3  . Отже, ( ) еквівалентна ( ).

Тепер можна вважати, що тіло перебуває в рівновазі під дією лише двох сил   і   .

Згідно з аксіомою 1 це можливо лише при  . Таким чином, лінія дії сили   повинна проходити через точку О, тобто система сил ( ) має бути збіжною.

 

 

Аналітичні умови рівноваги системи збіжних сил випливають з геометричної умови (2.8), згідно з якою модуль рівнодійної дорівнює нулю. Використовуючи це значення рівнодійної в формулі (2.7), одержуємо:  ;  ; ; або згідно з (2.6)

 ; ; .       (2.9)

Для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій всіх сил на кожну з координатних осей дорівнювала нулю.

Рівності (2.9) називаються аналітичними умовами рівноваги системи збіжних сил.

Для випадку плоскої системи збіжних сил відповідно буде дві умови рівноваги:

 ; .     (2.10)

Аналітичні умови рівноваги широко застосовуються при розв'язуванні практичних задач, а у випадку просторової системи збіжних сил використовують виключно рівняння (2.9).

 

При розв'язанні задач статики реакції в'язей завжди є невідомими величинами. Для їх визначення існують умови рівноваги тієї чи іншої системи сил. Умови рівноваги, в які входять відомі активні сили і невідомі реакції в'язей, називаються рівняннями рівноваги . Розв'язуючи рівняння рівноваги, знаходять невідомі величини.

Задачі, в яких число невідомих величин дорівнює числу рівнянь рівноваги, в які вони входять, називаються статично означеними. Системи, для яких має місце це означення, називаються статично визначеними.

Задачі, в яких число невідомих величин більше, ніж число рівнянь рівноваги, в які входять ці величини, називаються статично неозначеними. Системи, для яких це має місце, називаються статично невизначеними.

 

 

Усі задачі статики розв'язуються за однією методикою, згідно з якою необхідно:

1) вибрати об'єкт рівноваги. Останнім мусить бути точка, тіло або система тіл, до яких прикладено задані та невідомі сили;

2) дотримуючись деякого масштабу, зробити чіткий схематичний рисунок до задачі;

3) зобразити на рисунку всі задані сили, прикладені до об'єкта рівноваги;

4) умовно звільнити об'єкт рівноваги від накладених в'язей, а їх дію замінити реакціями в'язей. Зобразити на рисунку реакції в'язей;

5) вияснити, яка система сил діє на об'єкт рівноваги і які умови рівноваги раціонально використати;

6) відповідно до умов рівноваги скласти рівняння рівноваги або виконати відповідні графічні побудови;

7) розв'язати рівняння рівноваги, знайти невідомі величини та проаналізувати одержані результати.

Всі розрахунки в процесі розв'язку задачі рекомендується виконувати у загальному вигляді, а числові значення підставляти лише в кінцеві алгебраїчні вирази.

 

 

Задача 2.1. Ліхтар вагою G=20Н підвішений на тросі, який відтягнуто до стіни тросом ОА (рис.2.7.а). Кути, утворені тросами ОВ і ОА з вертикальною лінією, відповідно дорівнюють   і  . Знайти натяг тросів.

Розв'язок. Розглянемо рівновагу точки О. Зображаємо активну силу, що діє на точку О (вага ліхтаря).

Умовно звільняємо від в'язей і замінюємо їх дію реакціями в'язей   і  . Реакції тросів завжди напрямлені вздовж тросів до точок підвісу, тому що троси працюють тільки на розтяг (рис.2.7.б).

Раціонально вибираємо осі координат.

Аналітичний метод розв'язування задачі. Для плоскої системи збіжних сил складаємо два рівняння рівноваги:

 

Невідомих у задачі дві (реакції   і  ), рівнянь рівноваги також два, тобто задача статично визначена.

Розв'язавши рівняння, одержимо:  =14,64Н,  =10,35Н.

Відповідь. Натяги тросів дорівнюють за модулем реакціям і напрямлені у протилежні їм боки.

Графоаналітичний метод розв'язування задачі. Будуємо замкнений силовий трикутник, починаючи із заданої сили G (рис.2.7.б). Модуль невідомих реакцій   і   знаходимо з трикутника CDE за допомогою теореми синусів

Звідки

Реакції, знайдені двома методами, однакові, тобто задача розв'язана правильно.

 

 

1. Яка система сил називається збіжною?

2. Які є системи збіжних сил? Наведіть приклади найпростіших систем збіжних сил.

3. Сформулюйте правила побудови силового трикутника, паралелограма і многокутника.

4. Сформулюйте графічні і аналітичні умови рівноваги плоскої та просторової системи збіжних сил.

5. Чи може вільне тверде тіло знаходитися в рівновазі під дією:

а) однієї сили; б) двох сил; в) трьох сил?

6. Що називають проекцією сили на вісь, на площину?

7. Сформулюйте теорему про три паралельні сили.

8. Як визначається модуль і напрямок рівнодійної збіжних сил?

9. Яка задача називається статично невизначеною?