Лекція 8. Елементарна ланка та її характеристики. З’єднання ланок. Структурні схеми і їх перетворення.

 

Будь-яка система автоматичного регулювання складається з ряду елементів, що виконують цілеспрямоване перетворення сигналів керування. Хоча число елементів автоматичних систем досить велике і принципи їх роботи самі різні, але загальним для них є те, що вони здійснюють передачу інформації. Щоб виявити розмаїтість елементів за їх передавальними властивостями, введене поняття елементарної ланки.

Елемент автоматичної системи або його частина, що здійснює найпростіше перетворення інформації (таке, котре не може бути замінено комбінацією інших), називається елементарною ланкою. Вид елементарної ланки визначає тільки математична залежність між вихідною і вхідною величинами хвих=f(xвx.) (рис. 8.1), яку називають характеристикою ланки. Якщо в елементарній ланці не відбувається нагромадження енергії або речовини, то хвих=f(xвx.) являє собою алгебраїчне рівняння. При нагромадженні енергії або речовини в ланці зв'язок між вихідною і вхідною величинами описується диференціальним рівнянням. Рівняння складають на підставі аналізу фізичних процесів, що протікають у ланці, і законів збереження енергії і речовини. При складанні рівняння необхідна деяка ідеалізація для того, щоб врахувати тільки основні явища і зв'язки.

 

Рис. 8.1. Схематичне зображення елементарної ланки.

 

Реальне представлення про передавальні властивості ланки дає рішення рівняння. Знайти його можливо за умови, якщо відома вхідна величина xвx.(t) як функція часу.

Дуже часто має місце різка зміна вхідної величини, наприклад, швидка зміна рівня води в б'єфі, включення електродвигуна тощо. При різкій (гранично миттєвій) зміні xвx. виникає найбільша динамічна похибка в перетворенні сигналів керування. Тому в якості типового вхідного впливу на елементарну ланку приймають одиничну ступінчасту функцію

  /8.1/

Реакція ланки або системи на одиничний вхідний сигнал називається перехідною характеристикою і її прийнято позначати h(t). Вона являє собою рішення рівняння ланки при   і описує процес переходу від одного стану рівноваги до іншого. Тому графік перехідної характеристики іноді називають кривою розгону. Якщо відома перехідна характеристика h(t), a  , де А = const, то вихідна величина  .

Іноді необхідно вивчити реакцію ланки на інші впливи. Якщо, наприклад, вхідний вплив є відома функція часу φ(t), то реакцію на цей вплив знаходять за допомогою інтеграла Дюамеля:

 . /8.2/

Використовуючи перехідну характеристику, можна також наближено визначити реакцію ланки на вхідний вплив довільної форми. Для цього необхідно апроксимувати площу, обмежену даною кривою, сумою зсунутих у часі ступінчастих впливів, як це показано на рис. 8.2. Тоді вихідна величина

  /8.3/

 

Крім вхідного впливу, на елементарну ланку може впливати і збурення F (рис. 8.1). Реакція ланки на ступінчасте збурення F(t)=1(t) називається перехідною характеристикою за збуренням і позначається hF(t). Вона також є рішенням рівняння, що встановлює залежність вихідної величини від збурення.

Реакцію ланки на інші види збурень знаходять також за рівняннями /8.2/ і /8.3/, замінивши в них h(t) на hF(t).

 

Рис. 8.2. Апроксимація функції φ(t)  сумою  ступінчастих функцій.

Крім опису властивостей елементів і систем за допомогою диференційних рівнянь і їхніх рішень, в теорії автоматичного регулювання широко використовують передаточні функції і частотні характеристики, на підставі яких спрощуються розрахунки параметрів систем автоматичного регулювання.

Передаточною функцією елемента називається відношення зображень за Лапласом вихідної і вхідної величин при нульових початкових умовах. Отже, для її знаходження необхідно перетворити за Лапласом лінійне або лінеаризоване рівняння ланки при нульових початкових умовах.

Для прикладу знайдемо передатну функцію регулятора циліндричного типу, що описується рівнянням 

 . /8.4/

Зробивши перетворення рівняння /3.4/ за Лапласом при нульових початкових умовах, одержуємо:

 ,/8.5/

де хвих(р), хвх(р) - зображення вихідної і вхідної величин; p=σ+jω - комплексний аргумент (σ і ω - дійсні числа,  ).

Відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної

  /8.6/

є передаточна функція регулятора.

З порівняння /8.6/ з рівнянням /8.4/ випливає, що формально передаточу функцію легко одержати, замінивши в рівнянні /8.4/ оператор диференціювання   на р.

Функція W(p) називається передаточною функцією ланки за керуючим (вхідним) впливом. Відношення

  /8.7/

називається передаточною функцією за збуренням.

Якщо на вхід елементарної ланки   (системи)   подати вплив у виді гармонійного коливання з кутовою частотою ω і амплітудою Авх,

 , /8.8/

то в усталеному режимі вихідна величина також буде мати вигляд гармонійних коливань з кутовою частотою ω, але з амплітудою Авих і фазою φ:

 . /8.9/

При зміні кутової частоти змінюються амплітуда і фаза вихідних коливань. Відношення

  /8.10/

називається амплітудно-фазовою частотною характеристикою ланки.

Характеристику   можна також одержати з передаточної функції W(p), замінивши комплексну змінну р уявною величиною  . З /8.10/ випливає, що при кутовій частоті   являє собою вектор, модуль якого дорівнює  , а фаза  . При зміні кутової частоти від нуля до нескінченності кінець вектора   описує криву, що є годографом амплітудно-фазової частотної характеристики (рис. 8.3).

Залежність Α(ω) називається амплітудною частотною характеристикою, а φ (ω) - фазовою частотною характеристикою. Ці характеристики показують, як