Світ симетрії

Задача 1. На бічних гранях пластинки, внесеній у магнітне поле, під час проходження через неї електричного струму в “повздовжньому” напрямі виникає “поперечна” різниця потенціалів (ефект Холла). Чому? Пояснити.

Відповідь. Це явище – результат дії сили Лоренца   на електричний заряди, що здійснюють напрямлений рух. Сила   відхиляє заряджені частинки в “поперечнім” напрямі. Це спричинює появу поперечного електричного поля. Напрям поля можна встановити з допомогою правила лівої руки.

Пов’язана з добовим обертанням Землі, сила Коріоліса для земного спостерігача проявляється в підмиванні берегів рік, у відхиленні вільно падаючих тіл від вертикалі, у повертанні площини маятника Фуко, у появі особливих вітрів – пасатів та інших явищах.

Задача 2. Які береги – праві чи ліві підмиті у рік, що течуть в Північній півкулі? у Південній? З’ясувати з допомогою правила лівої руки.

Відповідь. Тут має місце утворення трьох векторів, один з яких (напрям вектора кутової швидкості   обертання Землі) аксіальний, а два інші (швидкості течії   і сили тиску   води на берег) – полярні. Ліву руку розташуємо так, щоб перпендикулярна складова вектора   входила в долоню, а чотири витягнуті пальці за напрямом збігалися з напрямом вектора  . Тоді відігнутий на 900 великий палець покаже напрям сили  , що діє на берег річок (він буде підмитий). Тож у Північній півкулі у рік підмиті праві береги, а в Південній – ліві.

Задача 3. Куди відхиляється від вертикалі тіло, що вільно падає, - на схід чи на захід?

Відповідь. На схід. Вказівка: необхідно поступити так, як у попередній задачі.

ІІ. Правило свердлика (гвинта, штопора) – положення, вперше сформульовано Дж. Максвелом (1831-1879), яке дає можливість за відомим напрямом електричного струму визначити напрям лінії індукції магнітного поля. Правило формулюють так: якщо напрям поступального руху свердлика під час його вкручування збігається з напрямом струму в провіднику, то напрям обертання ручки свердлика показує напрям вектора магнітної індукції.

Задача. У простір між обкладками плоского конденсатора, що під’єднується до батареї (рис. 13), влітає кусок діелектрика. Який полюс стрілки повернеться до катушки, розташованої як показано на рисунку. Чи збережеться і надалі таке положення стрілки?

Відповідь. Південний – при влітанні діелектрика, північний – при його вилітанні. 

Багато елементарних частинок характеризуються власним обертовим моментом імпульсу – спіном  . Це векторна величина, напрям якої збігається з напрямом переміщення правого гвинта, якщо гвинт обертається так само, що й частинка. Спін нейтральних мікрочастинок є характеристикою, згідно з якою розрізняють частинки й античастинки. Так, у нейтрино   напрям вектора імпульсу   протилежний до напряму вектора спіну  , а в антинейтрино вони збігаються (рис. 14). Тож напрям вектора   збігається з напрямом великого пальця правої руки, відігнутого під кутом   до   трьох інших пальців, якщо вони зігнуті внапрямі обертання частинки (рис.14). Нейтрино, кажуть, - лівий “гвинт”, антинейтрино   – правий. Момент імпульсу частинки (його часто позначають  ), або спін – її невід'ємна й незмінна властивість. Частинки зі спіном, рівним нулю, називаються скалярами, зі спіном   – спінорними, зі спіном   – векторними. Стан зі спіном   і парністю р зображають символом  . Наприклад,   або  .

ІІІ. Правило масштабу. Це правило полягає в тому, що один вектор перетворюється на інший такий самий через скаляр, збільшуючись чи зменшуючись без зміни напряму (перетворення подібності). Найпростіші приклади таких явищ і законів – рух під дією зовнішньої сили  , другий закон Ньютона   (  - відповідно маса і лінійне прискорення тіла), обертальний рух, де момент сили   (  - моменти інерції,   - кутове прискорення). Обидва математичні вирази задовольняють вимоги операції R.

IV. Гіроскоп – масивне симетричне тіло, що обертається з великою кутовою швидкістю навколо осі повної симетрії (вільної осі), яка може змінювати свій напрям у просторі. Згідно з законом збереження вектора моменту імпульсу  , гіроскоп прагне зберегти напрям своєї осі обертання сталим у просторі (тобто   зберігає як величину, так і напрям). Найпростіший гіроскоп – дзиґа (рис. 15). Властивість зрівноважених гіроскопів стійко зберігати напрям осі (протистояти збурювальним діянням, використовують при побудові систем автоматичного керування рухом суден, літаків, ракет тощо). Добове обертання Землі уподібнює її гіроскопу. Рух осі обертання твердого тіла (наприклад, дзиґи) по круговій конічній поверхні називається прецесією. Прецесія супроводжується нутацією – коливанням осі власного обертання тіла (гіроскопа) відносно конічної поверхні її прецесійного руху. Внаслідок прецесії земної осі точки весняного і осіннього рівнодень повільно переміщується із заходу на схід (за 25800 років здійснюється повний оберт).

Переносна симетрія (трансляційна симетрія)

Паралельним перенесенням у площині ХОУ називається таке геометричне перетворення, при якому довільна її точка (х; у) переходить у точку 

 

де  , b – сталі. Аналогічне