Розробка інформаційної технології нелінійної робастної сплайн-обробки даних в системі моніторингу

 

є незміщена оцінка дисперсії 2. Звідси випливає, що при заданому математичному очікуванні точності наближення   та дисперсії похибки вимірювань 2 емпіричних даних кількість вузлів склеювання визначається як

 

Це дозволяє формулювати пряму та зворотну задачі: мінімізації похибки на даній сітці вузлів склеювання та мінімізації кількості вузлів склеювання на базі припустимої похибки відновлення.

Розроблено обчислювальні схеми та алгоритми відновлення поліноміальних сплайн-регресій з довільною кількістю вузлів склеювання. Три процедури базуються на МНК для функцій класу Cd[a, b]. Параметри   визначаються із властивості неперервності

 

Оцінки решти параметрів обчислюються з умови  , при цьому ваговий коефіцієнт  . Рішення зводиться до систем лінійних рівнянь, які в матричній формі мають вигляд

Точність оцінок параметрів характеризується дисперсійно-коваріаційною матрицею. Розроблено три процедури побудови усереднюючих сплайн-регресій. У цьому випадку крім вищезгаданих властивостей реалізується умова

 

звідки обчислюються  , а решта параметрів обчислюється з рішення систем нормальних рівнянь.

Обчислювальні схеми відновлення одновимірних нелінійних сплайн-регресійних моделей базуються на зведенні останніх до поліноміальних (зокрема, лінійних та параболічних) моделей, при цьому використовується перетворення координат z=2 (y), t=1 (x) та перерозрахунок параметрів сплайн-регресії  ,  ,  . Використовуючи одержані оцінки поліноміальної сплайн-регресії  , можна реалізувати обчислення оцінок параметрів нелінійної сплайн-регресійної залежності  ,  ,  . Розроблено ітераційну процедуру, яка уточнює оцінки параметрів   для МНК-оцінок. У цьому випадку ваги обчислюються ітераційно згідно з формулою

 

Якщо припущення нормальності випадкового вектора не використовується, то оцінки, які були одержані за МНК, втрачають свою оптимальність. Розроблені методи оцінювання, стійкі до відхилень розподілу випадкової компоненти моделі від істинного – робастні методи. Для робастної процедури ваги обчислюються за формулою біквадратного зважування

2 (y) – перетворене значення залежної змінної при лінеаризації

 

c  [6, 9];   – медіана абсолютних значень залишків  

Розроблено алгоритм вибору вузлів склеювання сплайна, ідея якого полягає в ітераційному процесі поділу сегмента, що відповідає умовам = . Процес триває, доки не буде виконана одна з умов: <кр (кр – максимальна припустима похибка) ; згладжуюча сплайн-регресія перетворюється на інтерполяційну; остаточна дисперсія на ітерації збільшується: S2 (i) > S2 (i-1). Здійснюється перевірка значимості вузлів склеювання та виключення незначимих. Для перевірки значимості кожного з вузлів склеювання   запропоновані два алгоритми, які базуються на перевірці гіпотез   та  .

Порівняльний аналіз розроблених процедур, здійснений при використанні різноманітних даних, доводить перевагу застосування ітераційної та робастної процедур (табл. 1), що дає більш стійкі моделі, ніж класична процедура МНК, та запропонованого автором ітераційного метода пошуку вузлів склеювання.

 

Таблиця 1

Оцінки похибки відновлення сплайн-регресії

У третьому розділі розроблені методи та алгоритми обробки багатовимірних статистичних даних за результатами спостережень функції f (x1,..., xd)  (f (x1,..., xd) C) на області REd   з використанням сплайн-регресії

на сітці вузлів склеювання

 

Запропоновано два алгоритми ступінчастої сплайн-апроксимації. Так, у першому методі реалізується відбір найбільш інформативної незалежної змінної, знаходиться її одновимірна проекція та здійснюється звичайне одновимірне відновлення сплайн-регресії. Відхилення від цієї оптимальної лінії розглядаються як новий набір даних та знаходиться друга проекція. Процес триває доки не виконається критерій закінчення процесу. Сума одновимірних сплайнів є значенням багатовимірної залежності. Другий метод спочатку відновлює класичну багатовимірну регресію. Відхилення емпіричних значень залежної змінної від оцінки функції регресії розглядається як новий набір даних, потім знаходиться одновимірна проекція найбільш корельованої незалежної змінної. Далі процес повторюється за тією ж схемою. Це наближення не є оптимальним, але алгоритм не ускладнюється із збільшенням розмірності. Запропоновані алгоритми дозволяють досягнути будь-якої точності відновлення, але в ній не враховується взаємодія між незалежними змінними. Для усунення цього недоліку для обробки результатів спостережень функції двох змінних f (x, y)   на області R=[a, b]x[c, d] запропоновані алгоритми відновлення згладжуючих двовимірних сплайн-регресійних моделей, які визначаються у такий спосіб

 

на сітці вузлів  .

Відновлення сплайн-регресій здійснюється на основі умов

 

Розроблено шість обчислювальних процедур відновлення поліноміальних сплайн-регресій довільного ступеня. Три алгоритми базуються на МНК для функцій класу Cd, d[R]. Оцінки параметрів     слід обчислювати з урахуванням властивості неперервності сплайн-функції та її похідних на лініях склеювання

 

Задача обчислення оцінок решти параметрів за умови   зводиться до kl систем лінійних рівнянь

 

Для оцінки точності відновлення параметрів обчислюються довірчі інтервали.

Для відновлення усереднюючих сплайн-регресій розроблено три процедури, які базуються на умові усереднення

 

звідки обчислюються  , а решта параметрів обчислюється з рішення систем нормальних рівнянь.

Розроблені алгоритми орієнтовані на відновлення поліноміальних сплайн-регресій довільного ступеня. Зокрема, реалізація процедур, які базуються на властивості C0, 0[R], відновлює білінійні (m=1), біквадратичні (m=2) та бікубічні (m=3) моделі максимального дефекту; процедури, що реалізують умову C1, 1[R], дозволяють одержати біквадратичні моделі мінімального дефекту та бікубічні залежності дефекту 2; алгоритми, побудовані на властивості C2, 2[R], за умовою m=3, відновлюють бікубічні моделі мінімального дефекту.

Оцінки МНК у випадку,