Інтегрування тригонометричних функцій

Предмет:

Математика

Тип работы:

Лекція

К-во страниц:

4

Язык:

Українська

Оценка:

Інтегрування тригонометричних функцій

1. Інтеграли вигляду

2. Інтеграли вигляду

3. Інтеграли вигляду

4. Інтеграли вигляду

5. Інтеграли вигляду

1. Інтеграли вигляду

Інтеграли вигляду, де і - дійсні числа, , знаходиться за допомогою формул:

Наприклад, знайти інтеграли:

2. Інтеграли вигляду

Розглянемо інтеграли вигляду. Запис означає, що над синусом і косинусом проводяться тільки раціональні операції: додавання та віднімання, множення на сталі величини, піднесення до цілого степеня як додатного, так і від’ємного, ділення. Іншими словами, під символом необхідно розуміти раціональну функцію синуса та косинуса.

Такі інтеграли приводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргументу підстановкою, яку називають універсальною:

Однак саме внаслідок універсальності ця підстановка часто приводить до складних інтегралів. Більш зручні наступні підстановки:

а) , якщо

б) , якщо

в) , якщо

Наприклад,

Розв’язок. Використаємо універсальну тригонометричну підстановку. Звідки

3. Інтеграли вигляду

Нехай хоча б один з показників степеня є непарне число. Нехай . В такому випадку підінтегральний вираз можна перетворити так:

Застосуємо підстановку .

Інтегральний вираз прийме вигляд . Питання зводиться до інтегрування суми степеневих функцій.

Наприклад.

Розв’язок.

Введемо підстановку

Якщо і - обидва показники степенем парні числа. Із тригонометрії відомо, що , .

Застосування цих формул дозволяє понизити степінь підінтегральної функції в розглядуваних інтегралах.

Наприклад.

Розв’язок.

4. Інтеграли вигляду

Інтеграли вигляду де R – раціональна функція над та . В такому випадку необхідно застосувати підстановку

Наприклад,

Розв’язок.

5. Інтеграли вигляду

Інтеграли вигляду де R- раціональна функція над та . Даний інтеграл за допомогою підстановки:

зводиться до інтегралу від дробово-раціональної функції.

Наприклад,

Розв’язок.