Інтегрування раціональних дробів

 

Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочлени. Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня його чисельника менший від найвищого степеня знаменника . У противному випадку дріб називається неправильним. Інтегруються лише правильні дроби. Неправильний раціональний дріб, у якого степінь чисельника вищий або дорівнює степені знаменника, можна діленням чисельника на знаменник представити його у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, в якого степінь чисельника нижчий за степінь знаменника.

Приклад. Задано неправильний дріб

Поділимо чисельник на знаменник і отримаємо:

 Найпростішими раціональними дробами І, ІІ, ІІІ та ІV називають правильні дроби вигляду:

І.

ІІ. , ціле додатне число).

ІІІ.

ІV. ціле додатне число і

Умова означає, що квадратний тричлен не має дійсних коренів і на множники не розкладається.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування.

І. .(1.1)

ІІ. (1.2)

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ – го типу необхідно виконати перетворення.

ІІІ.

 Інтеграл від найпростішого дробу ІV-го типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу типу ІІІ.

Інтеграл від дробово-раціональної функції , де правильний дріб, можна знайти (виразити через елементарні функції) шляхом розкладу на доданки, які завжди приводяться до формул інтегрування. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника . Можливі наступні випадки:

1. Корені знаменника тільки дійсні та різні числа, тобто

В цьому випадку правильний дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:

де - невизначені коефіцієнти, які знаходяться з тотожності, що написана вище.

2. Корені знаменника тільки дійсні числа, причому деякі з них кратні, тобто

Тоді правильний дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го та 2-го типів:

Де невизначені коефіцієнти знаходяться з тотожності, що написана вище.

3. Корені знаменника дійсні числа, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто

 В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го, ІІ-го та ІІІ-го типів

 Де невизначені коефіцієнти, які необхідно знати.

Розв’язання прикладів.

Знайти інтеграли.

Приклад 1.

Розв’язок. Підінтегральна функція - це правильний раціональний дріб, знаменник якого розкладається на множники , тому даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів типу І:

Невідомі коефіцієнти А, В, С будемо знаходити методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину одержаної вище рівності необхідно привести до спільного знаменника. Отримаємо

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто

 Остання рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однакових степенях х в обох частинах рівності рівні, тобто

 Отримали систему рівнянь, з якої знаходимо невизначені коефіцієнти

 Підставляємо знайдені значення А, В, С в схему розкладу і отримуємо розклад підінтегральної функції:

 Інтегруючи останню рівність маємо:

 Приклад 2.

Розв’язок. Підінтегральна функція – це правильний нескоротний раціональний дріб, знаменник якого містить лише дійсні корені, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типу.

 Визначимо невідомі коефіцієнти А, В, С, D, та Е методом невизначених коефіцієнтів та методом задання частинних значень, які доцільно комбінувати. Праву частину рівності приведемо до спільного знаменника, отримаємо:

 Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні:

 Нагадаємо, що отриманий вираз є тотожністю, а через це рівність повинна зберігатися при будь-якому значенні х. При х=-2 отримуємо:

 При

Нам залишилось визначити коефіцієнт В, С, Е. Тепер будемо порівнювати коефіцієнти при однакових степенях х в лівій та правій частинах рівності. Коефіцієнти при х4 в лівій частині дорівнює нулю (х4 в лівій частині відсутній), а в правій С+Е. Через це С+Е=0

Вільний член в лівій частині дорівнює -8, а в правій – 4А-4В+4С-D=2Е.

На основі цього отримуємо друге рівняння: 4А-4В+4С-D-2Е=-8,

в якому А та D відомі ( , маємо

Ми порівняли саме вільні члени, тому що це можливо зробити, не виконуючи множення та піднесення до степені у правій частині рівності.

Для того, щоб отримати третє рівняння для визначення В, С і Е, знову повернемося до способу задання частинних значень.

Якщо х=2, отримуємо:

Знаючи, що , це рівняння прийме вигляд

Таким чином, для визначення В, С і Е отримали систему рівнянь:

 Розв’язавши систему, отримаємо:

 Отже, маємо:

 Тепер розклад підінтегральної функції має вигляд:

Інтегруючи цю рівність, отримуємо:

 Приклад 3.

Розв’язок. Підінтегральна функція – це правильний нескоротний дріб, знаменник якого: . Маємо, що знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, та два дійсних кореня х=0 та х=-1, то даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІІ-го типу

 Невідомі коефіцієнти А, В, М та N будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності потрібно привести до спільного знаменника, отримаємо:

 Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто:

 Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях букви х, ми отримуємо систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів А, В, М, N

 Отже, розклад підінтегральної функції приймає вигляд

 Інтегруючи цю рівність, отримаємо: