Інтегрування раціональних дробів

Тема 15. Інтегрування раціональних дробів

 

15.1. Комплексні числа і раціональні функції

15.2. Інтегрування раціональних функцій

15.3. Інтегрування найпростіших алгебраїчних ірраціональностей

 

15.1. Комплексні числа і раціональні функції

 

Поняття комплексного числа

Множина дійсних чиселє недостатньою при розв’язанні цілого ряду задач. Наприклад, рівняння

у множині дійсних чисел розв’язку не має (дискримінант). Це наштовхує на

необхідність розширення множини дійсних чисел, де б подібні задачі мали розв’язок. Таким розширенням є множина комплексних чисел.

Комплексним числом називається число, яке має вигляд

,(4.4)

дета - деякі дійсні числа, а - так звана уявна одиниця (за означенням ).

Дійсні числатавідповідно називаються дійсною та уявною частинами комплексного числа 

. Комплексне числоназивається спряженим по відношенню до числа і навпаки.

У множині комплексних чисел згадуване вище рівняння має дваспряженікорені

.

Комплексне число зручно зображати точкою або відповідним радіус-вектором на комплексній площині (площині ).

Осі та при цьому називають відповідно дійсною та уявною осями. Абсциса зображає дійсну частину , а ордината – уявну частину у комплексного числа . Довжина

радіус-вектораназиваєтьсямодулем

комплексного числа , а кут- його аргументом.

Величина визначена з точністю до сталого доданка 

, . Головне значенняпозначається символом 

і визначається нерівностями.

Враховуючи, що , (див. рис. 4.1), комплексне число (4.4) можна записати в тригонометричній формі:

.(4.5)

Беручи до уваги формулу Ейлера ,

яка пов’язує показникову функцію з уявним показником степеня з тригонометричними функціями та

, комплексне число можна записати в показниковій формі:

.(4.6)

Таким чином, довільне комплексне числоможе бути записане в одній із трьох форм: алгебраїчній (4.4),

тригонометричній (4.5) і показниковій (4.6).

Дії над комплексними числами виконуються у відповідності з формулами:

1. ;

2. . Зокрема,

;

;

3. 

Деякі відомості про многочлени

Нехай задано многочлен , де .

Коренем цього многочлена називається будь-яке число (дійсне або комплексне), яке перетворює многочлен в нуль, тобто, . Так, наприклад, для многочлена число є коренем, тому що .

У вищій алгебрі розглядається наступна теорема.

Теорема. Всякий многочлен степеня з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на прості множники і подати у вигляді

(4.7)

в цьому розкладі лінійні множники відповідають дійсним кореням многочлена кратності , а квадратні тричлени – його комплексним кореням кратності . Наприклад, для многочлена має місце розклад . Многочлен має

дійсний корінькратності 2, однократний дійсний коріньі два комплексні спряжені корені

.

Раціональні дроби

Як зазначалося в п. 2.2, раціональним дробом називається функція, яка дорівнює частці від ділення двох

многочленів:

,

де- многочлени відповідно степенята.

Якщо , то раціональний дріб називається правильним, при - неправильним.

Будь-який неправильний раціональний дріб шляхом ділення чисельника на знаменник завжди можна подати у

вигляді суми його цілої частини – многочлена – і правильного раціонального дробу.

Нехай, наприклад, . Поділимо чисельник на знаменник за правилом ділення многочленів:

ціла частина дробу – многочлен. Залишок становить. Отже, .

Правильні раціональні дроби виду

1. 2. 

3. ; 4. 

називаються найпростішими раціональними дробами відповідно першого, другого, третього і четвертого типів.

Правильний раціональний дріб , знаменник якого – многочлен - розкладено на прості множники (див. 4.7), може бути зображений у вигляді суми найпростіших раціональних дробів. При цьому кожному лінійному множнику знаменника кратності відповідатиме доданків виду , кожному квадратному тричлену кратності відповідатиме доданків виду

.лад,дріброзкладаєтьсянасумунайпростішихдробіввиду

 

15.2. Інтегрування раціональних функцій

 

Інтегрування многочленів виконується безпосередньо. Наприклад,

Інтегрування неправильного раціонального дробу зводиться до інтегрування його цілої частини – многочлена – і правильного раціонального дробу. Оскільки інтегрування многочлена ніяких труднощів не складає, то основна задача полягає в інтегруванні правильних раціональних дробів.

Найпростіші раціональні дроби 1 та 2 типів інтегруються безпосередньо. Інтеграл від найпростішого раціонального дробу 4 типу, після виділення у квадратному тричлені повного квадрату і заміни змінної, може бути зведений до інтеграла , який легко знайти за рекурентною формулою

(4.8)

При інтегруванні правильного раціонального дробу його попередньо потрібно розкласти на суму найпростіших дробів.

Приклад 7. Знайти інтеграли:

а) ;б) .

Показати розв'язок

а) Маємо справу з інтегралом від правильного раціонального дробу. Розкладемо знаменник

дробу на прості множники, а сам дріб – на суму найпростіших раціональних дробів. При цьому

метод невизначених коефіцієнтів буде досить громіздким, а тому застосуємо значно

простіший штучний прийом:

Отже,

Останній інтеграл знайдемо за рекурентною формулою (4.8). Враховуючи, що

, інтеграл

Таким чином,.

б). Перш за все шляхом ділення чисельника підінтегрального дробу

на знаменник виділимо його цілу частину:

Отже,

Далі підінтегральну функцію – правильний раціональний дріб – розкладемо на суму найпростіших:

звідки, або

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степеняхзліва і справа отриманої рівності,

отримаємо систему

звідки

Шуканий інтеграл

 

15.3. Інтегрування найпростіших алгебраїчних ірраціональностей

 

Розглядаючи в п.4.5 інтегрування алгебраїчних раціональних функцій, ми бачили, що інтеграл від всякої раціональної функції виражається через елементарні функції. Інша справа, коли підінтегральна функція є ірраціональною. Виявляється, що не від кожної ірраціональної функції інтеграл можна виразити через елементарні функції.

Розглянемо окремі види ірраціональностей, інтеграли від яких за допомогою відповідних підстановок

зводяться до інтегралів від раціональних функцій і, отже, до кінця інтегруються.

1. Інтеграл

 ,(4.14)

де - раціональна функція своїх аргументів, раціоналізується за допомогою підстановки

, (4.15)

де- спільний знаменник дробів .

Якщо підінтегральна функція містить двочленв різних дробових степенях , то підстановка

 ( - як і в попередньому випадку) раціоналізує інтеграл.

Приклад 13. Знайти інтеграли:

а) ;б) .

Показати розв'язок

а)

2. Інтеграл

 

Приклад 14. Знайти інтеграл .

Показати розв'язок