Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Тестові завдання з дисципліни "Вища математика" №001

Предмет: 
Тип роботи: 
Тестові завдання
К-сть сторінок: 
7
Мова: 
Українська
Оцінка: 

Завдання №1. Задано вибiрку, яка характеризує мiсячний прибуток пiдприємцiв (в тис.грн.).

Скласти варiацiйний ряд та статистичний розподiл вибiрки, побудувати полiгон частот.

Скласти iнтервальний статистичний розподiл вибiрки, розбивши промiжок (x min, x max) на 5 рiвних промiжкiв, та побудувати гiстограму частот.

Обчислити вибiрковi характеристики: вибiркове середне, вибiркову дисперсiю, вибiркове середне квадратичне вiдхилення, моду та медiану, якщо вибiрка має такий вигляд:

Розв'язок

Запишемо елементи вибірки в порядку зростання, таким чином отримаємо варіаційний ряд:

37,33,33,32,37,30,40,34,35,34,36,35,41,32,40,34,31,39,38,35.

У вибірці маємо 12 різних значень, тобто варіант:

30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41.

Знайдемо їх частоти:

Запишемо шуканий статистичний розподіл вибірки:

хi303132333435363738394041

ni112233121121

Для того щоб побудувати полігон частот, відкладемо на осі абсцисс значення варіант xi , а на осі ординат — значення відповідних їм частот ni і послідовно з’єднаємо між собою точки  xi,ni відрізками.

Складемо інтервальний статистичний розподіл вибірки. Для цього розіб’ємо інтервал 30;41на 5 рівних проміжків довжиною  .

Інтервал[30;32,2](32,2;34,4](34,4;36,6](36,6;38,8](38,8;41]

Частота45434

Для побудови гістограми обчислимо щільності частоти:

Побудуємо гістограму частот.

Обчислимо вибіркові середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та медіану.

Вибіркове середнє:  

Середній квадрат відхилення значень елементів вибірки від вибіркового середнього називається вибірковою дисперсією. Вибіркова дисперсія дорівнює різниці середнього квадрата елементів вибірки і квадрата вибіркового середнього:

Середнє квадратичне відхилення знаходимо як квадратний корінь з вибіркової дисперсії:

Медіаною Me називається значення середнього елемента варіаційного ряду. Якщо обсяг вибірки n= 2m парний (як, в нашому випадку), то медіаною буде середнє значення елементів варіаційного ряду з номерами m і m +1 :

Модою ( Mo ) називається варіанта з найбільшою частотою: 

 

Завдання №2. Нехай генеральна сукупнiсть має нормальний роподiл. Знайти довiрчi iнтервали, якi покривають з надiйнiстю γ=0,95 математичне сподiвання α та середнє квадратичне вiдхилення σ  генеральної сукупностi, якщо з неї одержано вибiрку:

 

хi35791113151719

ni7152845785030178

 

Розв'язок

Обсяг вибірки: n = 7+15+28+45+78+50+30+17+8=278.

Для побудови довірчих інтервалів обчислимо вибіркове середнє   і вибіркове середнє квадратичне відхилення   за формулами:

Оскільки середнє квадратичне генеральної сукупності невідоме, то визначаємо довірчий інтервал для математичного сподівання. Знайдемо виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення:

Довірчий інтервал з надійністю γ для математичного сподівання a нормально розподіленої генеральної сукупності при відомому середньому квадратичному відхиленні   має вигляд:

 , де   – точність оцінки.

Величину t знайдемо за таблицею значень функції  . При значеннях γ =0,95 і n = 100   = 1,98.

Розраховуємо довірчий інтервал:

Отже, інтервал (10,45; 11,83) покриває параметр a з надійністю γ = 0,95.

Визначимо тепер довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення σ генеральної сукупності. 

Величина   є табличним значенням. При γ =0,95 і n =100   =0,14. 

Оскільки   < 1, то довірчий інтервал нормально розподіленої генеральної сукупності визначається наступним чином: 

Отже, інтервал (3,02; 4,00) покриває параметр σ з надійністю γ = 0 95.

 

Завдання №3. За даними вибiрки, використовуючи критерiй Пiрсона при рiвнi значущостi α=0,05, перевiрити, чи справджується статистична гiпотеза про нормальний розподiл генеральноi сукупностi X:

хi91113151719212325

ni591114181512106

Розв'язок

Визначимо обсяг вибірки: n = 5+9+11+14+18+15+12+10+6=100.

Обчислимо  вибіркове  середнє:

Визначимо вибіркове середнє квадратичне відхилення:

Визначимо теоретичні частоти. З цією метою використаємо формулу:

де n — обсяг  вибірки; h — крок (різниця між двома сусідніми варіантами);   — диференціальна функція Лапласа:

В нашому завдання значення   при і = 1, 2, ..., 9 будуть наступними:

Враховуючи, що різниця між двома сусідніми варіантами  h = 2, а обсяг вибірки n = 100, визначимо теоретичні частоти. Для цього складемо розрахункову таблицю (значення диференціальної функції Лапласа   представляють собою табличні величини):

іхіnіui 

195-1,900,05512,12

2119-1,430,14355,38

31311-0,970,296610,42

41514-0,510,350315,69

51718-0,050,398418,43

619150,420,365316,76

721120,880,270911,87

823101,340,16266,55

92561,800,07902,76

Знайдемо спостережуване значення критерію Пірсона за формулою:

За таблицею критичних точок розподілу χ2 при заданому рівні значущості α = 0 05,  і кількості ступенів вільності k =s – 3 = 9 – 3 = 6 (s – кількість варіант вибірки) знайдемо критичну точку  правосторонньої критичної області:

Оскільки   <  , то немає підстав відхиляти статистичну гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності: емпіричні і теоретичні частоти різняться несуттєво (випадково).

 

Фото Капча