Визначення площ ділянок на топографічній карті

Тема 5. Визначення площ ділянок на топографічній карті

 

5.1. Графічний спосіб визначення площ

5.2. Аналітичний спосіб визначення площ

5.3. Механічний спосіб визначення площ. Теорія полярного планіметра

5.1. Графічний спосіб визначення площ

 

При обчисленні площ земельних ділянок за картою можливі два випадки: 1. Межами ділянки є прямолінійні відрізки; 2. Межа ділянки являє собою криву замкнену лінію.

В першому випадку для визначення площі ділянки її поділяють на прості геометричні фігури (рис. 5.1) (трикутники, чотирикутники, трапеції та ін.) і обчислюють їх площі окремо за формулами простих геометричних фігур.

Загальна площа ділянки буде дорівнювати сумі площ окремих фігур:

(5.1)

При цьому значення елементів окремих фігур для обчислення їх площ визначаються графічно.

В другому випадку для визначення площі ділянки застосовують палетку, яка виготовляється з прозорого матеріалу, на який наносять сітку квадратів зі сторонами 2-4 мм. Знаючи площу одного квадрата,

Рис. 5.1. Графічний метод вимірювання площ

вираховують кількість цілих квадратів і їх частинок, які поміщаються всередині контуру, обчислюють площу кожної частинки і сумують їх по всій ділянці. На місцевості велику площу ділянки можна поділити на прості фігури і визначити площу кожної окремої фігури.

 

5.2. Аналітичний спосіб визначення площ

 

Для обчислення площі фігури 1234, зображеної на рис. 5.2, необхідно знати координати х і у вершин фігури.

Вони визначаються за картою або обчислюються на підставі геодезичних вимірів на місцевості.

Площу фігури можна визначити за формулою:

(5.2)

Площі окремих трапецій визначаються за формулами:

(5.3)

Рис. 6.2. Визначення площі аналітичним методом

Підставивши значення площ окремих трапецій з формул (5.3) у формулу (5.2) і виконавши елементарні перетворення та групування по абсцисах і ординатах, отримаємо наступні формули для обчислення площі фігури:

(5.4)

або

(5.5)

 

5.3. Механічний спосіб визначення площ

 

Будова планіметра. Полярний планіметр з важелем змінної довжини складається з двох важелів – полюсного і обвідного.

На одному з кінців полюсного важеля закріплений тягарець з голкою, яка є полюсом планіметра. На другому кінці важеля знаходиться кругла головка, яка встановлюється в гніздо каретки обвідного важеля. Головка і гніздо утворюють шарнір, з допомогою якого з’єднуються важелі планіметра. Цей вузол служить і віссю обертання обвідного важеля.

На кінці обвідного важеля є обвідний шпиль. Притримуючи планіметр за ручку, обводять шпилем контур ділянки, площу якої необхідно визначити. На обвідному важелі розміщується каретка з лічильним механізмом. Лічильний механізм складається з лічильного колеса і лічильника його цілих обертів. Для відліку по лічильному колесі є верньєр.

Одна поділка лічильного механізму – це частина кола колеса. Відлік по планіметру складається з чотирьох цифр. Каретку з лічильним механізмом можна рухати вздовж обвідного важеля, при цьому змінюється його довжина. Спрощена схема планіметра показана на рис.5.3, де: О – полюс планіметра; F – проекція шпиля

обвідного важеля; в – проекція осі обертання обвідного важеля; К – лічильне колесо.

Рис. 6.3. Схема планіметра

Вісь обвідного важеля – FК – це лінія, яка проходить через проекції шпилю обвідного важеля і осі його обертання.

Вісь Ов – лінія, яка проходить через полюс планіметра і проекції осі обертання обвідного важеля.

Теорія планіметра. Площу ділянки можна визначити, якщо полюс планіметра знаходиться всередині цієї ділянки або зовні.

Розглянемо перший випадок. Виразимо формулою площу фігури ОВАА¢ВО (рис.5.4). Площа фігури ОВАА¢ВО

складається з трьох фігур: двох секторів і одного паралелограма.

Нехай радіус полюсного важеля дорівнює R1 , обвідного – R, віддаль від осі В до лічильного колеса становить r і віддаль між положенням важеля АВ і Аов¢ дорівнює h, кути поворотів важелів – полюсного і обвідного – дорівнюють відповідно a та b. Приймемо, що ці фігури нескінченно малі.

Рис. 6.4. Визначення площ механічним способом

Тоді ,(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Нехай Rt = r, , тоді формула визначення площі механічним способом буде мати вигляд: – полюс всередині фігури (5.11)

Якщо полюс знаходиться зовні фігури, то

(5.12)

Геометричний зміст сталих планіметра.

1)S = t = R× t, де R – довжина обвідного важеля;

t – поділка на лічильному колесі (мм2).

Для практичних потреб t виражається в га.

2) Для пояснення геометричного змісту Q розмістимо планіметр так, щоб площина колеса К проходила через полюс (рис.5.5).

Тоді

(5.13)

(5.14)

Рис. 6.5. Геометричний зміст сталих планіметра

Отже, стала величина Q являє собою площу круга, описаного радіусом r. Цей круг називають основним кругом планіметра. Властивість основного круга: якщо в центрі поставити полюс планіметра, а обвідний шпиль вести по колі основного круга, то колесо планіметра буде перпендикулярним до напрямку руху обвідного важеля і відліки по ньому не будуть змінюватися.

Перевірки планіметра:

1. Лічильне колесо повинно обертатися вільно, без коливань.

2. Площина лічильного колеса повинна бути перпендикулярною до осі обвідного важеля.

Виконується при вимірюванні площі ділянки при двох положеннях полюса. Умова виконана, якщо одержані результати не перевищують відносної помилки . Якщо більше, то треба виконувати вимірювання при двох положеннях полюсу.

Визначення сталих планіметра

1. Визначення ціни поділки планіметра τ.

Для цього потрібно мати відому заздалегідь площу ділянки р та середнє арифметичне значення ∆mср з різниць відліків, одержаних з лічильного механізму до початку обведення площі р і в кінці його:

(5.15)

За відому площу зручно взяти квадрат кілометрової сітки на топографічній карті. Його площа в гектарах,

наприклад у масштабі 1:10000, буде рівною 100га.

Квадрат обводять по контуру центром обвідного скельця з довільної (початкової) точки (краще з вершини квадрата) і записують відліки з лічильного механізму: відлік m1 – обвідне скельце на початковій точці; m2 , m3 , m4 – відліки на початковій точці, але після 1,2,3 – разового обведення планіметром квадрата. Наступним етапом є визначення різниць знятих відліків у такій послідовності:

(5.16)

Отже∆mср= .(5.17)

Беручи до уваги формулу 5.15, можна отримати формулу для визначення будь-якої площі за допомогою планіметра, знаючи його ціну поділки:

S=∆mср τ.(5.18)

Робота по визначенню площі буде виконуватись у такій же послідовності, як і при визначенні ціни поділки планіметра.

2. Визначення Q (площа круга).

Параметр Q визначають, коли полюс знаходиться в середині круга і зовні:

(5.19)

Точність вимірювання площ планіметром:

(5.20)

де n – площа в діленнях планіметра.

Необхідно при вимірюванні враховувати деформацію паперу.

 

Запитання для самоперевірки

 

1. Які способи вимірювання площ Ви знаєте?

2. В чому полягає графічний спосіб вимірювання площ?

3. Як обчислюють площі ділянок за координатами вершин і виконують контроль обчислень?

4. Що таке планіметр і як визначають площу ділянки за його допомогою?

5. Що таке ціна поділки планіметра і як її визначають?

6. Яка точність вимірювання площі планіметром?