Застосування визначеного інтеграла в геометрії

Предмет:

Математика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

Застосування визначеного інтеграла в геометрії

1. Обчислення площ плоских фігур

2. Обчислення об’єму тіла обертання

1. Обчислення площ плоских фігур

Використовуючи поняття визначеного інтеграла, можна обчислювати площі плоских фігур. Як відомо, визначений інтеграл від невід’ємної неперервної функції є площа відповідної криволінійної трапеції. У цьому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла, на цьому ґрунтується його застосування для обчислення площ плоских фігур.

Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену графіком невід’ємної, неперервної функції, відрізком осі Ох, відрізками прямих х=а і . У цьому разі площа криволінійної трапеції, як відомо, обчислюється за формулою

Приклад 1. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями і відрізком осі Ох.

Розв’язання. Ця плоска фігура являє собою криволінійну трапецію, тому її площу обчислюють за формулою (1):

Нехай тепер функція - недодатна неперервна функція. У цьому разі графік цієї функції лежить під віссю Ох і

Розглянувши допоміжну функцію, дістанемо, що площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції, відрізком осі Ох, відрізками прямих і , обчислюється за формулою (1), тобто

Розглянемо тепер криволінійну трапецію обмежену графіком функції, відрізком осі Ох, відрізками прямих. Оскільки графік функції симетричний графіку функції відносно осі Ох, то криволінійні трапеції і рівні. Як відомо, рівні фігури мають рівні площі, тому площу криволінійної трапеції також обчислюватимемо за формулою (2).

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, і віссю Ох.

Розв’язання. Графік функції , лежить під віссю Ох, тому для обчислення площі даної плоскої фігури застосовуємо формулу (2):

Нехай тепер - неперервна на відрізку функція, графік якої перетинає відрізок осі Ох в скінченному числі точок. З формул (1) і (2) випливає, що площу плоскої фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі Ох, відрізками прямих і , обчислюють за формулою

Приклад 3. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої відрізком осі Ох, графіком функції , відрізками прямих і

Розв’язання. Розв’язавши рівняння , дістанемо, що графік функції на відрізку перетинає вісь Ох у точках . Отже, за формулою (3)

Розглянемо тепер фігуру , обмежену відрізками прямих і і графіками невід’ємних неперервних функцій , , і , . Оскільки фігуру можна розглядати як різницю криволінійних трапецій і , то з урахуванням формули (1) дістанемо таку формулу для обчислення площі фігури :

Приклад 4. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і

Розв’язання. Розв’язавши рівняння , знайдемо абсциси точок перетину графіків функцій і : і . Використовуючи формулу (4), обчислимо площу фігури:

Якщо треба обчислити площу складнішої плоскої фігури, то шукану площу намагаються виразити у вигляді алгебраїчної суми площ деяких криволінійних трапецій. Так, наприклад, площу фігури, зображеної на рисунку обчислюють за формулою

Нехай криві АВ, ВС і АС – відповідно графіки таких функцій:

Приклад 5. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями і

Розв’язання. Для знаходження площі скористаємося формулою (5):

2.Обчислення об’єму тіла обертання

Нехай дана неперервна функція. Побудуємо криволінійну трапецію, обмежений графіком віссю Ох і двома прямими х=а і і будемо обертати її навколо своєї осі Ох. Отримане при цьому тіло називається тілом обертання.

Для обчислення об’єму цього тіла розіб’ємо інтервал на ряд частинних інтервалів точками і проведемо через ці точки площини, які перпендикулярні осі Ох. Об’єм тіла обертання також розіб’ється на ряд частинних об’ємів . Величину можна вважати приблизно рівною об’єму циліндра з висотою і радіусом основи де . Таким чином,

Об’єм тіла обертання наближено рівний сумі частинних об’ємів:

Об’єм буде вирахуваний точніше, чим менші частинні інтервали . Вираз є інтегральна сума функції на інтервалі , границя якої при дорівнює визначеному інтегралу. В кінці маємо

або , де

Якщо вважати, що крива обертається навколо осі Оу, то формула для знаходження об’єму тіла обертання має вигляд

де (6)

Приклад 1. Нехай фігура, обмежена прямими , х=4 і віссю Ох, обертається навколо осі Ох. Одержане тіло обертання – конус. Знайти його об’єм.

Розв’язання.

Межами інтегрування являються абсциси точок перетину прямих і х=4 з віссю Ох. Знаходимо системи і Отже, Далі знаходимо

Розв’яжемо цю задачу за допомогою формули знаходження об’єму кругового конуса. Маємо . Знаходимо радіус основи. З рівняння при х=4 → R=3

Висота конуса h=4. Таким чином,

Завдання для самостійного розв’язання

1. Зробити малюнок і обчислити площу фігури, обмежену лініями:

а) і віссю ох;

б) і .

2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ох фігури, обмеженої лініями.