Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Аналітична механіка

Предмет: 
Тип роботи: 
Лекція
К-сть сторінок: 
6
Мова: 
Українська
Оцінка: 
8. АНАЛІТИЧНА МЕХАНІКА
 
8.1. Принцип Германа – Ейлера – Даламбера для матеріальної точки
 
Для визначення елементів руху невільної матеріальної точки або системи доцільно застосовувати принцип Даламбера. Цей принцип дає змогу формально розглядати рівняння динаміки як рівняння статики, а це істотно спрощує розв’язок відповідних задач. Принцип Даламбера формулюється так:
якщо умовно зупинити матеріальну точку, приклавши силу інерції  , напрямлену в протилежний бік прискоренню   і рівну добутку маси точки на прискорення, то точка буде знаходитися в умовній рівновазі. Значить:
  (8. 1)
 
Рис. (8. 1)
 
Запишемо основне рівняння динаміки для матеріальної точки з масою m відносно інерціальної системи відліку (рис. 8. 1) :
 , де   – рівнодійна активних сил;   – рівнодійна реакції в’язей;   – прискорення точки.
Тоді:   (1)
Позначимо:   – сила інерції точки. Рівняння (1) матиме такий вигляд:
 , де  . (8. 2)
Рівняння (7. 1) – це математичний вираз принципа Даламбера. Проектуючи (8. 1) на координатні осі, маємо:
  (8. 3)
При русі точки по кривій, силу інерції можна розкласти на дві складові:
 , де  .
 
8.2. Принцип Германа – Ейлера – Даламбера для механічної системи
 
Нехай механічна система складається із n точок (рис. 7. 2).
Запишемо принцип Даламбера для кожної із точок:
  (1)
 
Рис. 8. 2
Додавши ці рівняння, одержимо:
  (2)
Позначимо:
  – головний вектор активних сил;
  – головний вектор реакції в’язей;
  – головний вектор сил інерції.
Тоді рівняння (2) має вигляд:
 . (8. 4)
Якщо в довільний момент часу до кожної точки механічної системи, крім фактично діючих на неї зовнішніх сил, прикласти відповідні сили інерції, то геометрична сума головних векторів активних сил, реакцій в’язей і сил інерцій дорівнює нулю.
Помножимо векторно радіус-вектор кожної точки на відповідне рівняння (1) :
  (3)
Додавши ці рівняння одержимо:
 . (4)
Позначимо
  – головний момент активних сил відносно центра 0;
  – головний момент реакцій в’язей відносно центра 0;
  – головний момент сил інерції відносно центра 0.
Тоді рівняння (4) матиме вигляд:
 . (8. 5)
Якщо в довільний момент часу до кожної точки механічної системи, крім фактично діючих на неї зовнішніх сил, прикласти відповідні сили інерцї, то геометрична сума головних моментів активних сил, реакцій в’язей і сил інерції дорівнює нулю.
Принцип Даламбера раціонально застосовувати у випадках, коли треба визначити реакції в’язей (це безпосередньо випливає із фізичної суті сил інерції, які є реальними у відношені до в’язей).
 
8.3. Зведення сил інерції твердого тіла в окремих випадках його руху
 
а). Поступальний рух твердого тіла.
 
Рис. 8. 3
Якщо тверде тіло рухається поступально, то прискорення всіх його точок геометрично рівні. Сили інерції цих точок складають систему паралельних сил, напрямлених в один бік. (рис. 7. 3).
 
Така система сил зводиться до рівнодійної сили інерції, яка дорівнює:
 , де М – маса тіла, (8. 6)
по модулю   (8. 7)
б). Обертальний рух твердого тіла (рис. 8. 4).
 
Рис. 8. 4.
Центр мас знаходиться на осі обертання. Прикладемо до точки К масою mк сили інерції:
 ;
Так як центр мас знаходиться на осі обертання, то головний вектор сил інерції
 .
Головний момент інерції   дорівнює:  
Так як  , то:
 , (8. 8)
де   – момент інерції відносно осі обертання.
в). Плоскопаралельний рух твердого тіла (рис. 8. 5).
 
Рис. 8. 5
Оскільки плоский рух твердого тіла можна розкласти на поступальний рух разом з центром мас і обертальний рух відносно осі обертання, яка проходить через центр мас, то сили інерції зведуться до головного вектора сили інерції:
 , де m – маса тіла (8. 9)
і головного моменту сил інерцій:
 . (8. 10)
Зведення сил інерції до головного вектора і головного моменту є дуже важливий етап розв’язування динамічних задач кінетостатики.
Фото Капча