Динаміка і її основні задачі

 

Два попередні розділи курсу механіки – статика і кінематика – по суті мало зв’язані між собою. Кожному з них відповідає своє окреме коло понять, задач і методів їх розв’язання. У статиці розглядаються задачі на рівновагу, а також задачі еквівалентних перетворень систем сил; при таких перетвореннях навіть не постає питання про те, який рух тіла викликають прикладені сили. У кінематиці вивчається рух «сам по собі» без зв’язку з тими силами, під дією яких він відбувається.

Динаміка - це основний розділ теоретичної механіки, де узагальнюються положення і висновки, отримані в статиці і кінематиці; тобто динаміка вивчає механічний рух матеріальних об’єктів, що виникає під дією сил, прикладених до цих об’єктів.

Саме у динаміці ставляться і розв’язуються дві основні задачі механіки: а) за відомим законом руху матеріального об’єкта потрібно визначити сили, які цей рух викликають (перша або пряма задача); б) за відомими силами, що діють на матеріальний об’єкт, потрібно знайти закон його руху (друга або обернена задача).

Звичайно динаміку в залежності від конкретного поняття матеріального об’єкта поділяють на три частини: динаміку матеріальної точки, динаміку системи матеріальних точок і динаміку твердого тіла.

 

 

Фундаментом класичної динаміки є другий закон Ньютона, який називають основним законом динаміки. Нагадаємо, що математична форма запису цього закону для матеріальної точки дається рівнянням:

де:   - маса точки;   - швидкість точки;   - рівнодіюча всіх сил, прикладених до точки.

В тих випадках, коли можна прийняти умову про сталість маси, основне диференціальне рівняння динаміки точки набуває вигляду:

(  - абсолютне прискорення точки).

 

 

Як відомо, положення матеріальної точки в інерціальній системі відліку визначається її радіусом-вектором  . Сила  , що діє на точку, може залежати від положення точки, тобто від радіуса-вектора   (наприклад, сила тяжіння), швидкості   точки (наприклад, сила опору) і часу  . Отже, в загальному випадку основне диференціальне рівняння (3.1) можна записати в такій формі:

 

Це рівняння називається диференціальним рівнянням руху матеріальної точки у векторній формі.

Диференціальне рівняння у векторній формі еквівалентне певній системі скалярних (алгебраїчних) рівнянь. В залежності від вибору координатних осей, на які проектується основне рівняння динаміки (3.1), отримують різні форми скалярних диференціальних рівнянь руху матеріальної точки.

Так, якщо спроектувати рівняння (3.2) на координатні осі   декартової нерухомої системи координат, то будемо мати:

 

У спрощеній формі запису ця система рівнянь набуває вигляду:

 

При використовуванні природної системи координат для опису руху матеріальної точки потрібно спроектувати основне диференціальне рівняння динаміки (3.2) на осі природного тригранника (рис.3.1); в результаті отримаємо співвідношення:

де   - проекції рівнодіючої сил на дотичну, головну нормаль і бінормаль.

 

Якщо згадати відомі з кінематики вирази для проекцій   повного прискорення точки на ті ж напрями, то отримаємо:

 

В цих рівняннях  - дугова координата (закон руху точки вздовж траєкторії);   - радіус кривизни в поточній точці траєкторії.

Основний закон динаміки і, відповідно, його математичні вирази, наведені вище, сформульовані для вільної матеріальної точки. Якщо на точку накладено певні в’язі, тобто вона є невільною, то на підставі принципу звільнення від в’язей до заданих (активних) сил, що діють на точку, потрібно додати відповідні сили реакції і розглядати матеріальну точку як вільну. Тоді основне рівняння динаміки буде мати вигляд:

 

 

За допомогою диференціальних рівнянь руху матеріальної точки розв’язують дві основні задачі динаміки, про які згадувалось у пункті 3.1. Розглянемо алгоритми (методику) розв’язання цих задач.

 

Перша (пряма) задача динаміки точки

 

В задачах цієї категорії задані закон руху точки і її маса. Потрібно знайти рівнодіючу сил, яка обумовлює заданий рух. Методика розв’язання полягає у наступному: закон руху підставляють в диференціальне рівняння (3.4) або в (3.6) (в залежності від способу завдання руху) і диференціюванням функцій, якими задано закон руху, визначають проекції шуканої рівнодіючої сил.

Приклад 1

Матеріальна точка масою m рухається в площині   згідно з законом  . Знайти силу, під дією якої відбувається цей рух.

В даному випадку рух задано в декартових координатах. Тому для розв’язання використовуємо систему рівнянь (3.4). Знаходимо:

 

Таким чином, з’ясовуємо, що на точку діє стала сила, паралельна осі у і протилежна їй за напрямом.

Приклад 2

Матеріальна точка маси m рухається по колу радіуса r згідно з законом  . Визначити силу, під дією якої відбувається такий рух. Закон задано в натуральній формі, тому для розв’язання задачі використовуємо диференціальне рівняння (3.6). Знаходимо:

 

Приходимо до висновку, що заданий рух матеріальної точки відбувається під дією сили, сталою за величиною і напрямленою за радіусом кола до його центра.

 

Друга (обернена) задача динаміки точки

 

В задачах такого типу відомі сили, які діють на матеріальну точку, її маса і початкові умови. Останні визначають положення точки і її швидкість в певний момент часу, прийнятий за початковий. Потрібно знайти кінематичні характеристики руху точки (закон руху, швидкість і інколи прискорення).

Розв’язання другої задачі зводиться до інтегрування систем диференціальних рівнянь (3.4) або (3.6) при заданих початкових умовах.

Розглянемо більш детальніше особливості розв’язання другої задачі динаміки точки при умові її прямолінійного руху. Причому координатну вісь х у всіх випадках будемо суміщати з напрямом прямої, вздовж якої відбувається рух. Тоді вектор сили  , що діє на точку, повністю визначається його єдиною проекцією  .

Виділимо з усієї різноманітності сил такі, що є: а)сталими, б) залежними тільки від часу, в) залежними від положення (координати) точки, г) залежними тільки від швидкості точки.

а. Прямолінійний рух точки під дією сталої сили  .

Диференціальне рівняння в цьому випадку має вигляд:

 

 

З коливальним рухом матеріальних тіл і систем доводиться дуже часто зустрічатися в техніці. Коливальний рух здійснюють окремі елементи машин, механізми і споруди. Іноді вібрації досягають значної величини і стають неприпустимими з погляду міцності та нормальної роботи машини чи споруди. Причому переважна більшість аварійних ситуацій виникає через неправильне урахування та похибки при розрахунках коливальних систем.

З другого боку, коливання з успіхом використовуються для розробки різноманітних машин і механізмів вібраційної дії (машини ущільнення бетона сортування, транспортування, тощо).

Сучасна теорія коливань – основа значної кількості задач техніки, фізики та інших наук – це велика і складна галузь механіки. 

В нашому курсі ми обмежимося розглядом найпростішого коливального процесу – прямолінійних коливань матеріальної точки – як приклада застосування диференційних рівнянь (3.4) динаміки.

 

 

Серед різних сил, які можуть діяти на матеріальну точку, особливе місце займають відновлюючі сили, тобто сили, які намагаються повернути точку в положення рівноваги. Такі сили залежать від відхилення точки від положення рівноваги і завжди напрямлені в бік, протилежний відхиленню.

Природа цих сил вельми різноманітна, але всі вони надають рухові матеріальної точки коливальний характер.

Найбільш прості для дослідження ті випадки, коли відновлююча сила пропорційна величині відхилення точки від положення рівноваги. Тоді (рис.3.2):

 

де  - сталий коефіцієнт, що має розмірність Н/м;   - вектор відхилення точки від положення рівноваги (центр О на рисунку). 

Якщо відновлююча сила обумовлена пружними властивостями матеріального об’єкта (пружина, стержень) при його деформуванні, то коефіцієнт С називають коефіцієнтом пружності або коефіцієнтом жорсткості.

Коливальний рух матеріальної точки, який відбувається тільки під дією відновлюючої сили, пропорційної величині відхилення її від положення рівноваги, називається вільним.

Розглянемо точку М, масою m, що рухається вздовж осі x під дією відновлюючої сили (рис.3.3).