Динаміка механічної системи. Теорема про рух центра мас механічної системи. Механічна система. Внутрішні та зовнішні сили

 

 

Системою матеріальних точок або механічною системою називають таку сукупність точок, в якій положення або рух кожної точки залежить від положення або руху всіх останніх.

Розділяють вільні та невільні механічні системи.

Система називається вільною, якщо рух її точок не обмежений ніякими сторонніми тілами (в’язями). В противному випадку система називається невільною.

Класичним прикладом механічної системи є Сонячна система, в якій всі тіла зв’язані між собою силами взаємного притягання. Прикладом механічної системи може бути також будь-яка машина або механізм, в яких всі ланки зв’язані шарнірами, стержнями, канатами, пасами і т. п. В цьому випадку на тіла системи діють сили взаємного тиску або натягу, які передаються через в’язі.

Сили, які діють на точки або тіла механічної системи, можна розділити на зовнішні та внутрішні.

Зовнішніми називаються сили, які діють на точки механічної системи з боку тіл або точок, які не входять в склад даної системи.

Внутрішніми називаються сили взаємодії між точками даної механічної системи. Зовнішні сили будемо позначати символом  , а внутрішні –  . Прикладом внутрішньої сили може бути сила пружності. Як зовнішня, так і внутрішня сили можуть бути, в свою чергу, або активними, або реакціями в’язей, в залежності від того, рух якої системи будемо розглядати.

Якщо розглядати рух механічної системи (Сонце і планети) в цілому, то сила притягання Землі до Сонця буде внутрішньою, а при вивченні руху Землі по орбіті навколо Сонця, то ця сила буде зовнішньою.

Внутрішні сили мають наступні властивості:

1. Геометрична сума (головний вектор) всіх внутрішніх сил системи дорівнює нулю.

 

Рис. 3. 1

Дійсно, згідно третього закону динаміки будь-які дві точки системи (рис. 2. 1) взаємодіють між собою з силами, рівними по модулю і протилежними по напрямку, сума яких дорівнює нулю.

Але аналогічний результат має місце для будь-якої пари точок системи, тому:

  (3. 1)

2. Геометрична сума моментів (головний момент) всіх внутрішніх сил системи відносно будь-якого центру дорівнює нулю.

Якщо візьмемо довільний центр О, то з рис. 3. 1 видно, що

 

Аналогічний результат отримаємо при обчислені моментів відносно осі. Отже, для всієї системи:

 . (3. 2)

Внутрішні сили не зрівноважуються, тому що прикладені до різних точок системи і можуть викликати взаємне переміщення цих точок. Зрівноваженими внутрішні сили будуть тільки тоді, коли розглядувана механічна система являє собою абсолютно тверде тіло.

 

Розглянемо механiчну систему, яка складається iз n точок (рис. 3. 2), маса кожної mk, а її положення вiдносно системи вiдлiку Оxyz, в кожний момент часу визначається радiус-вектором  , або координатами  , де k=1, 2, …, n; (n-кількість точок).

Центром мас механiчної системи називається точка, радiус-вектор якої визначaється за формулою:

 , (3. 3)

де   – маса системи.

Рис. 3. 2

Проектуючи рiвняння (2. 3) на осi координат, отримаємо формули:

 . (3. 4)

Центр мас спiвпадає з центром ваги, але поняття останнього має змiст тiльки в тому випадку, коли система знаходиться в однорiдному полi тяжiння.

 

 

Розглянемо систему матерiальних точок M1, M2,... Mn, яка рухається пiд дiєю системи зовнiшнiх та внутрiшнiх сил (рис. 3. 3).

  

Рис. 3. 3

Розглянемо точку Мk масою mk. Позначимо рiвнодiючу всiх прикладених до точки зовнiшнiх сил  , а рiвнодiючу всiх внутрiшнiх сил –  . Запишемо основне рiвняння динамiки:

 . (3. 5)

Аналогiчний результат отримаємо для будь-якої точки. Для системи будемо мати:

  (3. 6) або   (3. 6')

 

Рiвняння (3. 6') називаються диференціальними рiвняннями руху системи в векторнiй формi.

Проектуючи рiвняння (3. 6) на осi будь-якої системи координат, ми можемо отримати диференціальні рiвняння руху механiчної системи в проекцiях на цi осi. Так як внутрiшнi сили, якi прикладенi до точок системи в бiльшостi випадкiв невiдомi, а число точок системи досить велике, то цi рiвняння можуть бути проiнтегрованi тiльки у виключних випадках. Тому весь подальший розвиток динамiки напрямлений на перетворення цих рiвнянь таким чином, щоб були виключенi внутрiшнi сили i щоб розв'язування задач здiйснювалося без складних математичних перетворень. Цi вимоги частково або повнiстю задовольняють загальнi теореми динамiки.

Основна роль рiвнянь (3. 6) полягає в тому, що вони є вихiдними для виведення вiдповiдних загальних теорем.

 

 

В деяких випадках для визначення характеру руху системи (особливо твердого тiла) досить знати закон руху її центра мас. Щоб знайти цей закон, додаємо лiвi i правi частини рiвнянь системи (3. 6) :

 . (3. 7)

Геометрична сума внутрiшнiх сил дорiвнює нулю (див. 3. 1). Перетворимо ліву частину рівняння (3. 7) :

 . (3. 8)

Рiвняння (3. 7) приймає вигляд:   (3. 9)

Рiвняння (3. 9) виражає теорему про рух центра мас механiчної системи; центр мас механiчної системи рухається як матерiальна точка, маса якої дорiвнює масi системи, до якої прикладенi всi зовнiшнi сили, що дiють на систему.

Проектуючи (3. 9) на координатнi осi, отримаємо теорему про рух центра мас в проекцiях на осi декартової системи координат:

 

(3. 10)

Iз отриманих рiвнянь слiдує, що внутрiшнi сили не впливають на рух центра мас, але в рядi випадкiв є причиною появи зовнiшнiх сил. Наприклад, внутрiшнi сили, якi приводять в рух ведуче колесо автомашини, викликають дiю на неї зовнiшньої сили зчеплення, яка прикладена до обода колеса.

 

 

Якщо головний вектор зовнiшнiх сил, якi дiють на систему, дорiвнює нулю, то центр мас цiєї системи знаходиться в спокої або рухається прямолiнiйно і рiвномiрно.

З рiвняння (3. 9) випливає, що якщо:  , то  , тобто  .

При цьому, якщо початкова швидкiсть центра мас дорiвнювала нулю, то центр мас системи знаходиться в спокої.

Якщо алгебраїчна сума проекцiй всiх зовнішніх сил, якi дiють на систему на будь-яку нерухому вiсь дорiвнює нулю, то проекцiя швидкостi центра мас на цю вiсь стала.

З рiвняння (3. 10) слiдує, що коли  , то  , тобто  .

Якщо алгебраїчна сума проекцiй зовнiшнiх сил, якi дiють на механiчну систему, на вiсь x дорiвнює нулю i проекцiя початкової швидкостi центра мас на вiсь х дорiвнює нулю, то абсциса центра мас – стала величина.

Тобто, якщо   і  , то  .

Наслiдки з теореми про рух центра мас механiчної системи виражають закон збереження руху центра мас механiчної системи.