Економетрія

- зростання коефіцієнта множинної кореляції R і убування залишкової дисперсії  .

Методика послідовного підключення аргументів складається з наступних операцій.

1.Обирається аргумент Х1, якому відповідає найбільший за абсолютним значенням "зовнішній коефіцієнт" кореляції

| r y1| = max | r yi|, j = 1,2….q.(3.89)

За аргументом Х1 записується рівняння

ty1 = ty1 tx1.(3.90)

2. Приєднується аргумент Хio, для якого 

| r xj X1 | = min | r xj x1 |, j = 2,3,… q.(3.91)

Складається система нормальних рівнянь

r yх1 = β1 + r хjo   β2;(3.92)

r y xjo = β1 r хjo x1 + β2(3.93)

і обчислюються значення β1 и β2. Визначаються

R2y, x1 хjo = β1 ryx1 + β2 r y xjo;(3.94)

σу, х1 xjo =  (3.95)

Порівнюється R2y, x1 хjo, σу, х1 xjo  відповідно з r 2yx1, σу х1. 

Переконуються в справедливості нерівності

R2y, x1 хjo ≥ r 2yx1 ; σу, xjo  ≤ σу х1.(3.96)

У противному разі замінюється чинник аргумент іншим Xj1, а аргумент Xj0 переноситься на останнє місце.

3. Далі приєднується наступний аргумент Xj1 і розв'язується система з трьома невідомими:

r y х1 = β1 + β2  rх1 xjo + β3  rх1 xj1;(3.97)

r y xjo = β1 rх1 xjo + β2   + β3  r xjo xj1;(3.98)

r y xj1 = β1 rх1 xjo + β2 r xjo xj1  + β3.(3.99)

Обчислюються значення β1, β2  и β3. Визначаються 

R2y, x1 хjo xj1 = β1 r y х1 +  β2 r y xjo + β3 r y xj1;(3.100)

σу, xjo xj1 = σу  (3.101)

і порівнюються з R2y, x1 хjo і σу, x1 хjo. Переконуються в справедливості нерівності

R2y, x1 хjo xj1 ≥ R2y, x1 хjo;(3.102)

σу, x1 хjo xj1 ≤ σу, x1 хjo.(3.103)

У противному разі поступають аналогічно П.2.

Дослідження ведуть до тих пір, поки не будуть апробовані чинники-аргументи і збережені тільки ті з них, для яких βj–коефіцієнти суттєві й лінійно незалежні. У результаті виходить множинне рівняння в стандартизованому масштабі.

Від рівняння множинної регресії в стандартизованому масштабі

t  xi = β1 t1 + β2 t2 + ….+ βp tn(3.104)

до рівняння множинної регресії в натуральному масштабі

х1, х2…Хр = а1х1 + а2х2 + ….+ архр +b.(3.105)

Перехід здійснюється подвійно.

1. Шляхом використання формул

(3.106)

При цьому маємо

(3.107)

Підставивши відомі значення  , σxi, σу, βi і  I, отримаємо рівняння множинної регресії в натуральному масштабі, в якому чисельне значення вільного члена додатково визначати не потрібно.

2. Невідомі коефіцієнти аi в рівнянні множинної регресії в натуральному масштабі визначають з виразу

.(3.108)

Чисельне значення вільного члена

b =  -(а1 1+ а2 2 + …+ ар р).(3.109)

Для з'ясування математико-статистичного змісту множинної кореляції всю досліджувану групу змінних слід розглядати як один чинник-аргумент. Чисельне значення коефіцієнта множинної кореляції визначають за формулою

R=  .(3.110)

При цьому 0≤ R≤1. Коефіцієнт надійності

М =  .(3.111)

Стандартну помилку (середню квадратичну похибку) коефіцієнта множинної кореляції визначають за формулою

σR = (1-R)/ ,(3.112)

де n-обсяг вибірки.

Сукупний вплив врахованих змінних на функцію визначається коефіцієнтом загальної детермінації R2, а окремих чинників-аргументів за чисельними значеннями приватної детермінації riβi:

R2 = r1β1 + r2β2+…..+ rpβp.(3.113)

Стандартну (систематичну) похибку   2 обчислюють за формулою

2  = 1-(1- R2)  ,(3.114)

де Р - число параметрів рівняння регресії. З рівняння множинної регресії можна отримати рівняння чистої (приватної) регресії  по кожному з аргументу Xi. Для цього фіксується значення всіх аргументів, окрім Xi, на середньому рівні.

Отримане рівняння описує, як в середньому змінюється із зміною Xi, якщо всі інші аргументи постійні й закріплені саме на своїх середніх рівнях.

Приклад. Відповідно до наведеною методики скласти рівняння множинної регресії собівартості перевезення пасажирів   від чинників: X1 – середньодобове перебування рухомого складу на лінії; X2 – середньодобова кількість пасажирів, що перевозяться, тис. чол.; X3 – пробіг рухомого складу на 1000 пасажирів, км, що перевозяться. Відомо, що  = 78,9 коп., σу =3,5104, а в таблиці матриці наведені внутрішні й зовнішні коефіцієнти кореляції.

Таблиця 3.6 - Внутрішні й зовнішні коефіцієнти кореляції

Х1 = tX2 = 1/AX3 = Пryxi i

σxi

t

1/A

П1

-0,8803

-0,7294-0,8803

1

0,9376-0,7294

0,9376

1-0,9108

0,9012

0,905511,757

0,0187

167,140,1611

0,00122

7,3996

Етап 1. Послідовно підключаються чинники-аргументи, в першу чергу з найбільшим "зовнішнім коефіцієнтом" кореляції і найменшим "внутрішнім". У нашому прикладі найбільше "зовнішні коефіцієнти" кореляції з  мають Х1 и Х3.

Система нормальних рівнянь має вигляд

β1 – 0,7294 β3 = -0,9108;(3.115)

-0,7294 β1  +   β3  = 0,9055.(3.116)

Отримане рішення 

β1