Предмет:
Тип роботи:
Курс лекцій
К-сть сторінок:
105
Мова:
Українська
рівняння недостатності. У цьому випадку число членів рівняння треба збільшити, якщо довжина ряду дозволяє це.
Користуючись для прогнозу розробленими рівняннями, можна знайти довірчий інтервал для значення прогнозованого показника.
Якщо прогнозований показник рівний , то розмір показника Хt записуємо у вигляді
- ≤ Xt ≤ + .(4.31)
Викладена методика складання авторегресійних моделей, використані критерії і побудований довірчий інтервал можна застосовувати тільки для великих вибірок, коли довжина ряду n не менше 30.
Помилка прогнозу по отриманих рівняннях визначається за дисперсії εt. Оскільки
- Хt = εt, (4.32)
то Βер = | εt| ≤ tα σε = Pα,(4.33)
де Pα – задана вірогідність, Pα = 1-α, а tα - відповідна межа по С (n-k) ступеням свободи Стьюдента:
σε = .(4.34)
Розглянемо приклади складання авторегресійних моделей.
Одночленна модель. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів, що перевозяться, заданий рядом в графі 2 табл. 4.8. Наявність експоненціального ряду (див. рис. 4.3.) дозволяє розраховувати на придатність одночленної моделі = а1Хt-1.
Система нормальних рівнянь для визначення параметра а1 має вигляд
= а1 .(4.35)
З табл. 4.3. (графи 4 і 5) виходить 367673,4 = 364278,2 а1
Звідки а1 = = 1,0087 ≈ 1,01.
Одержуємо рівняння = 1,01 Хt-1. Обчислюємо значення = 1,01 Хt-1 (графа 6) і знаходимо значення εt = Xt -Хt-1 (графа 7) ∑ εt = 9,4, що несуттєво в порівнянні з розмірами Xt.
Обчислюємо коефіцієнт циклічної автокореляції r1. За графами 9 і 10 отримаємо
r1 = r(εt, εt-1) = (4.36)
З табл. 4.3 знаходимо n1 = 15-1=14, r<0, r5% = -0,479.
Оскільки | r1| < | r5%|, кореляція εt, εt-1 несуттєва.
Аналогічно за графами 12 і 10 (табл. 4.8.) одержуємо r2 = = 0,416, що свідчить про несуттєвість кореляції εt и εt-2.
У даному випадку переважний критерій Дж. Неймана. Обчислюємо різницю εt -εt-1 за графами 13 і (εt -εt-1)2 – за графами 14. Одержуємо
K= (4.37)
За табл. 4.3 для n1 = 14 рівень значущості К5% рівний 1,2725 при r > 0 і 3,0352 у разі r < 0. Розрахунки свідчать, що коли в генеральній сукупності автокореляція між залишками εt відсутня, то в 95% вибірок буде К > 1,272 у випадку r > 0 и К < 3,0352 при <.
У даному прикладі значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості К > 1,2725. Отже, гіпотеза неавтокорельованості залишків εt стверджується і авторегресійне рівняння Xt = 1,01 Xt-1 приймається.
Помилка прогнозу при середньоквадратичному відхиленні
σε = .(4.38)
Складаємо
Вср = ≤ tα * = Pa.(4.39)
При 95%-й гарантійної вірогідності tα = 2,1 за табл. П.4[12] і помилка прогнозу не перевищить 14,42, що складає приблизно 8%:
- 14,42 ≤ 1,01 Xt-1 ≤ + 14,42(4.40)
Визначаємо прогноз на 16-й і 17-й періоди з похибкою, що не перевершує 14,42 (рис. 4.3.):
= 1,01 * Х15 = 1,01 * 175,3 = 177,05;(4.41)
= 1,01 Х17 = 1,01 * 175,5 = 177,06.(4.42)
Таблиця 4.8 - Розрахунок параметрів одночленної авторегресійної моделі
tXtXt-1Xt Xt-1Xt-12
εt= Xt-
εt-1εt* εt-1εt2εt-2еt* еt-2еt-еt-1(еt - еt-1)2
1234567891011121314
1153,1------------
2153,3153,123470,223439,6154,6-1,35,4-7,021,691,72,215,126,01
3148,4153,322749,723500,9154,8-6,4-1,38,3240,965,4-34,56-5,429,16
4148,9148,422096,822026,6149,9-1,0-6,46,41,0-1,31,3-11,014,0
5160,4148,923883,622171,2150,4101,010,01,0-6,4-64,611,5132,25
6160,5160,425744,225728,2162,0-1,510,0-15,02,25-1,01,53310,89
7157,3160,525246,625760,2162,1-4,8-1,57,223,0410,0-48,0-16,5272,25
8170,6157,326835,424743,3158,911,7-4,8-16,5136,89-1,5-17,553,310,89
9163,9170,627961,329104,4172,3-8,411,7-98,2770,56-4,840,32-7,454,76
10164,3163,926928,326863,2165,3-1,0-8,48,41,011,7-11,7-16,1259,21
11170,9164,328078,926994,5155,815,11,015,1228,01-8,4-126,8419,8292,04
12167,9170,928694,129206,8172,6-4,715,1-70,9722,09-1,04,7-3,210,24
13168,1167,928223,928190,4169,6-1,5-4,77,052,2515,1-22,650,20,04
14168,2168,128274,428257,6169,9-1,7-1,52,552,89-4,77,99-7,150,41
15175,3168,229485,528291,2169,95,4-1,79,1829,16-1,5-8,4--
16175,5367673,4364278,29,4-184,64661,179-275,681369,15
Рис. 4.3 - Одночленна авторегресійна модель:
1-вихідні дані; 2-одночленна авторегресія; 3-вирівнююча гіпербола.
Багаточленна модель. Щомісячна реалізація цегли (в тисячах штук) базою торгово – будівельних матеріалів за 20 місяців представлена в табл. 4.9 (графа 2). Треба скласти модель для прогнозування місячної потреби в цеглі на найближчі місяці.
Таблиця 4.9 - Розрахунок параметрів багаточленної моделі
tXtXt-1
εt=Xt-Xt-1εt-1εt*εt-1εt2εt-εt-1(εt-εt-1)2Xt-2
1234567891011
115---------
2171516,550,552,84-1,50,3---
3231718,754,250,552,3418,06-3,713,6815
4272325,371,634,256,932,662,626,8617
5322729,782,221,633,624,92-0,590,3523
6263235,29-6,292,22-20,686,311,51132,4827
7212628,68-7,68-9,2971,3558,981,612,5932
8182123,16-5,16-7,6839,6326,63-2,626,3526
9151819,55-4,55-5,1623,4820,70-0,610,3721
10191516,552,45-4,55-11,156,007,04918
11241920,963,042,457,459,24-0,590,3515
12332426,476,533,0419,8542,64-3,4912,1819
13373336,400,66,533,920,366,4741,8624
14413740,810,190,60,110,360,411,6833
15434145,22-1,780,19-0,343,171,973,8837
16454347,43-2,43-1,784,335,90,750,5641
17474549,64-2,64-2,436,426,970,210,0443
18494751,24-2,84-2,647,58,070,20,0445
∑530162,28301,26272,2434
Продовження табл. 4.9
Xt*Xt-1Xt*Xt-2Xt-1* Xt-2Xt-12X 2t-20,1175
Xt-11,061
Xt-2
εt=Xt-
εt2εt- εt-1(εt- εt-1)2
121314151617181920212223
------------
------------
3913452555292251,9915,9117,95,126,01--
6214593917292892,7018,0420,746,2639,8-1,131,27
86473662110245293,1724,4027,574,4319,621,833,35
8327028646767293,7628,6432,30-6,339,6910,73115,13
54667283244110243,0533,9537,00-16,025,69,794,09
3784685463246762,4627,5830,04-12,04144,96-3,9615,68
2703153782254412,1122,2824,38-9,3886,49-2,667,07
2853422703613241,7619,0920,85-1,853,42-7,5256,55
4563602855762252,2315,9218,155,9535,4-7,8060,84
79262745610893612,8225,4622,9810,02100,4-4,0716,54
122188879213695763,8726,5229,337,6758,822,355,52
151713531221168110894,3433,2037,543,4611,974,2117,72
176315911517184913694,8239,2544,07-1,071,144,5320,52
193518451763202516815,0543,5048,55-3,5512,6-2,486,15
211519351935220918495,2945,6250,91-3,9115,290,360,12
230322052115240520255,5247,7452,26-4,2618,140,350,12
162891489314241175081318715,47428,33
Використовуючи перші 18 членів ряду, складемо одночленну модель = а1 Хt-1. Визначаємо а1 за методом середніх (табл. 4.9, графи 2.3):
а = (4.43)
Обчислюємо значення = 1,103 Хt-1 і залишків εt = - Хt (графи 4, 5). Для використання першого критерію автокорельованості складаємо циклічний ряд εt-1 (графа 6), обчислюємо εt * εt-1 (графа 7) і εt2 (графа 8). У результаті одержуємо
r1 = r(εt, εt-1) = (4.44)
За табл. 4.3 знаходимо n1 = 18 – 1 =17 і r > 0, маємо r1% = 0,475.
Отже, r1 потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу відкинути гіпотезу неавтокорельованості εt.
Таким чином, модель = а1 Хt-1 не приймається. До такого ж висновку приводить і другий критерій Дж. Неймана. На підставі граф 8,10 отримаємо
К = (4.45)
За табл. 4.3 знаходимо: n1 = 17 маємо К1% = 1,035. Значить, К потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу забракувати гіпотезу відсутності автокорельованості εt.
Складаємо двочленну модель = а1 Хt-1. + а2Хt-2. Система нормальних рівнянь для визначення параметрів методом якнайменших квадратів має видгляд
.(4.46)
Визначивши суми для вирішення системи (табл. 4.9, графи 12-16), отримаємо 16289=1728 а1 + 14241 а2 ; 14853 = 14241 а1 + 13187 а2, звідки а1 = 0,1175; а2 = 1,061. У графах 17-19 наведені значення Хt, розраховані по формулі = 0,1175 Хt-1 + 1,061 Хt-2 . Відхилення εt знаходимо за графами 20 і критеріюєм Дж. Неймана перевіряємо неавтокорельованість залишків. З граф 21,23
K= .(4.47)
За табл. 4.4 маємо:
К5% (16) = 1,309 при r > 0;
К5% (16) = 2,9577 при r < 0.
Отже, розрахункове значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості, що дає підставу для ухвалення гіпотези неавтокорельованості залишків εt для затвердження двочленній моделі: = 0,1175 Хt-1 + 1,061 Хt-2. При середньоквадратичному відхиленні
σε = = = 5,17(4.48)
помилка прогнозу Вср = ≤ tα * = Pα; при 90%-й гарантійної вірогідності tα = 1,74 за табл. П.4 [12] і помилка прогнозу не перевищить 8,84.
Прогноз на 19 і 20 періоди Х19 = 55,61; Х20 = 58,20 з 90%-й вірогідністю непереходу за межі
- 8,84 ≤ 0,1175 Хt-1 + 1,061 Хt-2 ≤ + 8,84.(4.49)
Запитання для контролю знань
- Необхідність, можливість і значення застосування економіко-математичних методів у плануванні й управлінні.
- Основні методичні принципи економіко-математичного моделювання виробничих процесів.
- Мета і завдання курсу "економетрія" і його взаємозв'язок з профілюючими дисциплінами.
- Достовірні, неможливі, випадкові й невизначені економічні процеси і явища.
- Генеральна вибіркова сукупність. Побудова статистичних і тимчасових рядів розподілу.
- Узагальнюючі статистичні характеристики ряду розподілу випадкової величини.
- Форми законів розподілу випадкової величини.
- Закон нормального розподілу і його значення в математичній статистиці.
- Визначення вірогідності попадання випадкової величини в заданий інтервал.
- Стандартизація нормального закону розподілу.
- Грубі, систематичні й випадкові помилки.
- Розподіл випадкових помилок.
- Довірчі межі розподілу випадкових помилок.
- Послідовність попередні обробки спостережень і техніко-економічної інформації.
- Етапи математико-статистичного моделювання техніко-економічних показників.
- Обгрунтування обсягу вибірки або достатності вихідної інформації.
- Виявлення спостережень, різко відмінних від основної маси вибіркових даних.
- Перевірка статистичної однорідності вибіркової сукупності.
- Дослідження закону розподілу функціональної ознаки.
- Види залежності між економічними явищами і процесами.
- Визначення поняття кореляції.
- Визначення поняття регресії.
- Етапи процесу кореляційного і регресійного аналізу.
- Емпірична і теоретична лінії регресії.
- Форми математичного рівняння зв'язку.
- Перетворення математичних функцій до лінійного виду.
- Знаходження невідомих параметрів рівняння.
- Коефіцієнт кореляції.
- Лінійність (нелінійність) зв'язку між змінними.
- Оцінка відхилень досліджуваних даних щодо теоретичної лінії регресії.
- Залишкова теоретична дисперсія.
- Критерій адекватності Фішера.
- Необхідність розробки множинних рівнянь регресії.
- Об'єднання парних рівнянь у випадках перетворення і неперетворення функціональної ознаки.
- Складання системи рівнянь для визначення множинної регресії у стандартизованому і натуральному масштабі.
- Проблема мультиколінеарності і методика її виявлення.
- Поетапне приєднання аргументів при розробці множинної регресії.
- Перехід від рівняння у стандартизованому масштабі в рівняння в натуральному масштабі.
- Прогнозуюча модель, її характер і план складання.
- Графічне зображення даних на координатній сітці. Вирівнювання по ковзаючій середній.
- Виявлення загальної тенденції тимчасового ряду.
- Обробка рядів динаміки за наявності сезонних коливань.
- Авторегресія. Коефіцієнт авторегресії, його сутність.
- Визначення точності й надійності авторегресії.
Загальна та додаткова література.
- Барковський В. Теорія ймовірностей та математична статистика. К.:
- ЦУЛ, 2002 – 448 с.
- Базы данных: модели, разработка, реализация. / Под. ред. Карповой Т., -
- СПБ. : Питер, 2001 – 304 с.
- Бережная Е. Математические методы моделирования экономических систем: Уч. пособие. М. ФиС. 2002 – 368 с.
- Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. С англ. М. : Инфра – М, 2001 – 208 с.
- Кобелев Н. Практическое применение Экономико-математических методов и моделей. - М.: Финстатинформ, 2000 – 246 с.
- Конюховский П. Математические методы исследований в экономике. СПб.: Питер, 2000 – 208 с.
- Корольов О. Практикум з економетрії. - К.: УФІМБ, 2002208 с.
- Звітність підприємств: Навч.-метод. посібник (За ред. Добровольского В.).К.: КНЕУ, 2001 – 195 с.
- Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрія: Підручник. – К.: Знання, 1988. - 494 с.
- Монахов А. Математические методы анализа экономики - СПб.:Питер, 2001. – 176 с.
- Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія, - К.: КНЕУ, 2002 – 296 с.
- Сивый В.Б., Скоков Б.Г. Математические методы и модели в планировании и управлении жилищно-коммунальным хозяйством. – Харків, Основа, 1991 -203 с.
- Ржевский С.В. Вступ до економетрії: Навч. посібник. - К.: ЕУФІМБ, 1999 – 120 с.
- Економетрія. Навч.-метод. посібник. (Під ред. Наконечного С.) - К.:КНЕУ, 2001. – 192 с.
- Фомин Г. Математические методы и модели в комерческой деятельности.- М.: ФиС, 2001 – 544 с.
- Методичні вказівки для самостійного вивчення курсу "Економетрія" / Укл. Скоков Б.Г. - Х.арків: ХГАГХ, 2002.