Існування і одиничність розв’язку рівняння Вольтерра другого роду

 

Розглянемо інтегральне рівняння Вольтерра другого роду

 ,

(7.1)

де   і   - неперервні функції при  

Теорема 7.1. Рівняння (7.1) має одиничний неперервний розв’язок при 

при будь-якому значенні  . Цей розв’язок може бути знайдено шляхом послідовних наближень.

Доведення. Доведемо існування розв’язку. Для цього розглянемо послідовність функцій, які визначають рекурсивним співвідношенням:

 ,

(7.2)

де  . Функції   очевидно неперервні. Представимо   у вигляді

 

(7.3)

Позначимо  . Маємо послідовність оцінок:

 

1)Основоположниками теорії інтегральних рівнянь являються Віто Вольтерра (1860-1940) та Івар Фредгольм (1866-1927), а також Давид Гільберт (1862-1943) і Ерхард Шмідт (1876-1969). Вольтерра був першим, хто побачив всю важливість цієї теорії і розглянув її систематично. Вклад Фредгольма, власне кажучи, полягає у подоланні проблеми, пов’язаної з перетворенням на нуль «визначника коофіцієнтів» (близько 1900 р.). Щоправда, пріоритет Вольтерра був би ще більш безперечним, якби його перша робота, присвячена цим питанням (1896 р.), була написано інакше. Замість детального викладу своїх результатів і методів, які до них привели (і які співпадають з методами, так успішно використаними згодом Фредгольмом) Вольтерра опублікував лише перевірку свого розв’язку. Це розповів мені сам Вольтерра, коли я у 1924-1925 роках впершк читав лекції з інтегральних рівнянь у Римському університеті.

Члени ряду   мажоруються членами числового ряду  . Отже, за ознакою Вейєрштрасса, ряд   , часткова сума якого наявна у (7.3), збігається рівномірно:  , де   - неперервна [a,b] функція. Для   виконана оцінка

 

(7.4)

В силу рівномірної збіжності   можна перейти у (7.2) до границі при  . Отримаємо співвідношення (7.1). Таким чином, функція   - границя рівномірно збіжної послідовності   - є розв’язком рівнняння (7.1).

Доведемо одиничність розв’язку рівняння (7.1). Нехай   і   - два неперервних розв’язки рівняння (7.1), а   - їх різниця. Тоді   задовольняє однорідному рівнянню

 

(7.5)

Позначимо  . Оцінюючи мажорантним способом праву частину (7.5), отримаємо  . Підставляючи цю оцінку в праву частину (7.5), отримаємо нову оцінку

 

І так далі. Після k-го кроку маємо оцінку

 

(7.6)

Якщо  , то знайдеться  , при якому   відмінне від нуля. З іншого боку, для   при достатньо великих k виконана нерівність  . З (7.6) отримуємо, що  , де   - довільна як завгодно мала величина. Вибравши  , отримаємо протиріччя. Отже,    і розв’язок рівняння єдиний.

Примітки. 1. В силу доведеної теореми однорідне рівняння (7.1) має лише тривіальний розв’язок. Отже, однорідне рівняння Вольтерра другого роду не має власних значень.

2. Оскільки власних значень не існує, то множник   в записі рівняння Вольтерра звичайно опускають.

Приклад. Роз’язати рівняння

 

(7.7)

Знайдемо розв’язок двома різними способами.

а) продиференціюємо рівняння (7.7) двічі:

  .

Розв’язуючи отримане диференціальне рівняння з врахуванням умов   знаходимо  ;

б) Знайдемо розв’язок шляхом послідовних наближень. Обираємо  . Наступні наближення визначаємо за формулою

 .

Знаходимо

 .

Звідси  .

Розглянемо тепер інтегральне рівняння

 

(7.8)

 

Вольтерра першого роду. Нехай   і   - неперервні функції при  . Ми не займатимемося загальною теорією таких рівнянь, лише відзначимо, що при довільній неперервній   неперервний розв’язок   може не існувати. Дійсно, необхідною умовою існування неперервного розв’язку є, очевидно, умова  , оскільки ліва частина (7.8) у випадку неперервного   перетворюється на нуль при  .

За деяких умов рівняння (7.8) може бути зведене до інтегрального рівняння Вольтерра другого роду. Нехай   і   диференціюються по х і   усюди на [a,b]. Тоді, диференціюючи співвідношення (7.8), маємо

 .

При діленні на   приходимо до рівняння Вольтерра другого роду

 ,

де    .

Приклад. Отримаємо розв’язок рівняння

 .

Диференціюючи, маємо

 .

При цьому  .

Отримане рівняння Вольтерра другого роду також розв’язуватимемо шляхом диференціювання. Отримаємо  , звідки