Лекція 9. Стійкість систем автоматичного регулювання. Критерії стійкості. Якісні показники роботи систем автоматичного регулювання. Настройка параметрів регуляторів.

 

Будь-яка система автоматичного регулювання постійно піддається дії зовнішніх збурень, що виводять її зі стану рівноваги або усталеного руху. Поведінка систем після припинення дії зовнішніх впливів визначає її працездатність. Якщо система після припинення дії зовнішнього впливу через деякий час повертається до того стану, у якому вона знаходилася до початку дії збурення, то така система є стійкою.

 

Рис. 9.1. Стани системи автоматичного регулювання: α - стійкий; б - нестійкий;   в - стійкий «у малому».

Стійкість є необхідною умовою працездатності системи і характеризує її динамічні властивості. Для її визначення необхідно досліджувати рух системи при невеликих відхиленнях від стану рівноваги або усталеного руху. Наприклад, щоб визначити стійкість стану кульки у заглибленні в положенні   (рис. 9.1, а), перемістимо її в положення  . У положенні   з'являється сила F2, що прагнутиме повернути кульку в положення  . Якщо зняти зовнішню силу  , ЩО утримує кульку в положенні  , то після декількох затухаючих коливань кулька займе початковий стан  . Отже, кулька і заглиблення є стійкою системою.

На рис. 9.1,б показана кулька на узвишші. Очевидно, що при відхиленні кульки від положення   виникне сила F2, під дією якої кулька віддалятиметься від положення  . Така система є нестійкою.

Стійкість систем при невеликих відхиленнях називається стійкістю «у малому». Системи, стійкі «у малому», не завжди стійкі «у великому», тобто при великих відхиленнях від усталеного стану. Якщо відхилення кульки перейде за точку А (рис. 9.1,в), то система стає нестійкою. Цей приклад наочно показує, що системи, стійкі при малих збуреннях, можуть бути нестійкими при великих збуреннях.

 

З розглянутих прикладів випливає, що фізично стійкість визначається видом траекторії вільного руху кульки, тобто видом руху під дією внутрішньої сили F2. З математичної точки зору це означає, що рішення рівняння вільного руху з часом прямує до нуля.

Систему кулька-заглиблення можна розглядати як динамічну модель системи автоматичного регулювання. При цьому силі   відповідає зовнішнє збурення F(t), а траєкторії вільного руху - зміна регульованої величини, що описується рівнянням вільного руху системи. Отже, визначення стійкості систем автоматичного регулювання зводиться до дослідження рівняння вільного руху.

Рівняння вільного руху одержують з рівняння руху системи, поклавши F(t)=0. Тому в загальному випадку рівняння вільного руху лінійних систем являє собою однорідне диференціальне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами виду

 /9.1/

Рішення рівняння /9.1/ має вид

 , /9.2/

де   - сталі інтегрування, обумовлені початковими значеннями   регульованої величини і її похідних; pi - корені характеристичного рівняння

 . /9.3/

Вираз /9.3/ визначає зміну регульованої величини, викликану тільки початковим відхиленням від стану рівноваги або усталеного руху, тому xb(t) називають перехідною складовою.

Для стійкої системи перехідна складова повинна прямувати до нуля, тобто

 . /9.4/

Вираз /9.4/ визначає загальну умову стійкості систем автоматичного регулювання, які описуються лінійними і лініаризованими диференціальними рівняннями.

Щоб розкрити умову стійкості, необхідно з'ясувати, при яких видах і знаках коренів характеристичного рівняння системи перехідна складова   буде прямувати до нуля.

Відомо, що сума функцій прямує до нуля тоді, коли кожна функція прямує до нуля. Експоненціальна функція   при збільшенні аргументу прямує до нуля, якщо показник степеня від’ємний. Корені характеристичного рівняння виду /9.3/ можуть бути дійсними, уявними і комплексно-спряженими числами. Виходячи з цього, умову стійкості можна сформулювати у такий спосіб: лінійна система стійка, якщо всі дійсні корені її характеристичного рівняння від’ємні, а всі комплексні мають від’ємну дійсну частину.

Якщо один з дійсних коренів характеристичного рівняння додатний або пара комплексних коренів має додатну дійсну частину, то система нестійка. У цьому випадку   і вільний рух системи має вигляд розбіжного процесу або коливального зі зростаючою амплітудою.

Система, характеристичне рівняння якої має пару уявних коренів  , здійснює незатухаючі вільні коливання. Такі системи автоматичного регулювання непрацездатні і їх часто відносять до нестійких, хоча вони є стійкими коливальними системами.

Отже, стійкість лінійних систем визначається знаком і видом коренів характеристичного рівняння. Якщо корені відомі, то по них судять про стійкість або нестійкість системи. Однак шукати корені алгебраїчних рівнянь високих порядків важко, тому що для рівнянь вище четвертого порядку немає формул для їх обчислення. У зв'язку з цим виникає необхідність визначати стійкість безпосередньо за коефіцієнтами характеристичного рівняння. Сукупність правил, що дозволяють визначати стійкість без визначення коренів характеристичного рівняння системи, одержала назву критерію стійкості.

 

Вперше критерій стійкості систем, які описуються лінійними диференціальними рівняннями третього порядку зі сталими коефіцієнтами, у виді діаграми запропонував у 1876 р. І. А. Вишнеградський. Діаграму Вишнеградського будують у такий спосіб.

       Рис.   9.2.   Діаграма   Вишнеградського.

Характеристичне рівняння системи  , шляхом підстановки   приводять до виду

 , /9.5/

де   - параметри Вишнеградського.

Якщо на площині параметрів А і В побудувати криву