Лекція 9. Стійкість систем автоматичного регулювання. Критерії стійкості. Якісні показники роботи систем автоматичного регулювання. Настройка параметрів регуляторів.

В підобласті І перехідні процеси мають монотонний характер, а в підобласті ІІ - коливальний затухаючий.

Діаграма Вишнеградського дозволяє визначити не тільки стійкість, але і знаходити параметри системи регулювання за заданим характером перехідного процесу.

 

Цей критерій має вигляд нерівностей, складених за особливими правилами з коефіцієнтів характеристичного рівняння. Його застосовують для дослідження стійкості систем, які описуються диференціальними рівняннями вище третього порядку. Нерівності одержують з визначника, який для рівняння n-го порядку має вигляд

 . /9.6/

Визначник Δn складають у такий спосіб. На головній діагоналі виписують коефіцієнти від   до ап за зростаючими індексами, далі вверх від неї стовпці заповнюють коефіцієнтами зі зростаючими індексами, а вниз - зі спадаючими.  Порожні місця, що залишилися, заповнюють нулями.

Гурвіц довів, що для того, щоб дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння виду /9.3/ були від’ємними, необхідно і достатньо, щоб при   визначник Δn і всі його діагональні мінори, були додатними, тобто

  /9.7/

Оскільки визначник  , то умову додатності   можна замінити умовою  . Тоді критерій стійкості систем, які описуються лінійними диференціальними рівняннями n-го порядку, можна записати як

 . /9.8/

Розглянемо кілька прикладів визначення умов стійкості для систем різних порядків. Для системи другого порядку характеристичне рівняння   і умова стійкості згідно нерівностей /9.8/ приймає вид  , тобто зводиться додатних коефіцієнтів характеристичного рівняння системи.

Для системи третього порядку   й умови стійкості одержуємо

 

З цих нерівностей випливає, що для стійкості, крім додатних трьох коефіцієнтів, необхідно ще виконання нерівності  . Для рівняння у формі /9.5/   і  . Дана нерівність збігається з критерієм стійкості Вишнеградського.

Характеристичне рівняння системи четвертого порядку  . Після розкриття визначника Гурвіца умови стійкості мають вигляд:

 

Аналогічним чином знаходять умови стійкості систем, які описуються рівняннями більш високих порядків. Для рівняння вище другого порядку в умови стійкості входять нерівності. Якщо визначник   прирівняти до нуля, то одержують рівняння, що відповідає границі стійкості. Наприклад, для системи четвертого порядку рівняння границі стійкості

 . /9.9/

З наведених прикладів випливає, що трудомісткість розрахунків умов стійкості зростає з підвищенням порядку рівняння системи регулювання. Тому критерій Рауса-Гурвіца застосовують для рівнянь не вище шостого порядку. Для систем, які описуються рівняннями вище шостого порядку, менш трудомісткими є частотні критерії.

 

З частотних критеріїв стійкості найбільше часто застосовують критерій Найквіста, що дозволяє судити про стійкість замкненої системи за видом годографа амплітудно-фазової частотної характеристики розімкненої системи.

Більшість систем автоматичного регулювання складається зі стійких ланок і їх розімкнені системи є стійкими.

 

Рис.   9.3.   Годографи амплітудно-фазових частотних  характеристик стійкої  (а)  і нестійкої  (б)  систем.

 

У цьому випадку для стійкості замкненої системи необхідно і достатньо, щоб годограф амплітудно-фазової частотної характеристики розімкненої системи   при зміні частоти   від 0 до   не охоплював точку з координатами   (рис. 9.3, а).

Якщо розімкнена система стійка і годограф   охоплює точку з координатами  , то замкнена система нестійка (рис. 9.3,б). У випадку, коли годограф   проходить через точку  , система знаходиться на границі стійкості. Найквіст встановив також критерії стійкості для систем, нестійких у розімкнутому стані, і систем із запізненням.

Застосування частотних критеріїв значно полегшує визначення стійкості тоді, коли замість диференціальних рівнянь окремих елементів відомі їх амплітудно-фазові частотні характеристики. У цьому випадку годограф   знаходять графічним шляхом.

 

Використовуючи розглянуті критерії, легко встановити вплив коефіцієнтів характеристичного рівняння системи на її стійкість. Найбільший практичний інтерес представляє вивчення впливу коефіцієнта підсилення розімкненої системи k на стійкість, тому для зменшення статичної похибки необхідно збільшувати коефіцієнт k. Спростити аналіз можна, розглянувши як приклад систему, яка складається з інерційної і коливальної ланок і відповідає   системі регулювання рівня води в басейні, коли поплавок знаходиться безпосередньо в басейні. Рівняння руху такої системи

 /9.10/

 Характеристичне рівняння

 ,

де  

Підставивши в умову стійкості   значення коефіцієнтів, одержуємо

 . /9.11/

З нерівності /9.11/ видно, що збільшення коефіцієнта підсилення може призвести до втрати стійкості. Значення коефіцієнта підсилення, при якому система знаходиться на границі стійкості, називається критичним kкр. 

 . /9.12/

При kкр годограф   проходить через точку з координатами  . У випадку   система регулювання стає нестійкою. Тому kкр визначає граничне значення похибки системи автоматичного регулювання. Отже, між точністю регулювання і стійкістю існує протиріччя. Для його розв’язання, тобто збільшення kкр, використовують коригувальні ланки.

Ланки, дії яких проявляються тільки в перехідних процесах, називають коригувальними. Такі властивості мають диференціюючи, інтегруючі і інтегрально-диференціюючи ланки.

Якщо, наприклад, інерційну ланку з передаточною функцією   охопити диференціюючою ланкою з передаточною функцією   , то передаточна функція з'єднання

 . /9.13/