Маятник Максвелла

 

Мета роботи: експериментальне дослідження закону збереження енергії на прикладі визначення моменту інерції металічних кілець.

Прилади і матеріали: маятник Максвелла; набір кілець.

 

 

Закон збереження та перетворення енергії є одним з фундаментальних законів природи, що справджується як для систем макроскопічних тіл, так і для систем елементарних частинок. Він полягає в тому, що для ізольованої системи тіл енергія може переходити з одного виду в інший та передаватися від одного тіла до іншого, але її загальна кількість залишається сталою.

Якщо в ізольованій системі тіл діють тільки потенціальні (консервативні) сили, то взаємні перетворення механічної енергії в інші види (немеханічні форми) відсутні. Така система носить назву консервативної і для неї має місце закон збереження та перетворення механічної енергії: механічна енергія ізольованої консервативної системи не змінюється в процесі її руху

Закон збереження механічної енергії не можна застосовувати до ізольованих систем, в яких діють сили тертя чи існують залишкові (пластичні) деформації, бо частина механічної енергії розсіюється, перетворюється в немеханічні форми, наприклад, в теплоту. Такі системи звуть дисипативними.

Розглянемо закономірності перетворення енергії в системі, до складу якої входить масивне тіло, що обертається, падаючи з певної висоти h під дією сили тяжіння. Якщо знехтувати опором повітря, то дане тіло являє собою консервативну систему, до якої можна застосувати закон збереження механічної енергії, тобто його повна механічна енергія в процесі руху залишається величиною сталою:

Зростання кінетичної енергії тіла під час падіння відбувається за рахунок зменшення потенціальної. В нашому випадку кінетична енергія тіла складається з енергії поступального та енергії обертального рухів:

де m – маса тіла;

v – швидкість поступального руху центра мас;

I – момент інерції тіла;

 – кутова швидкість обертання.

Частину потенціальної енергії яка перетворилась в кінетичну, можна визначити за формулою:

де h – висота падіння тіла;

g – прискорення вільного падіння.

Згідно з законом збереження механічної енергії запишемо:

Використовуючи цю формулу, можемо експериментально знайти момент інерції тіла:

В останній формулі виразимо v та  через величини, що піддаються безпосередньому вимірюванню.

Так як під дією постійної сили рух тіла рівномірно прискореним, можна записати:

де a – прискорення,

t – час падіння тіла.

З формул (6) та (7) одержуємо

Лінійна швидкість зв'язана з кутовою співвідношенням

Підставивши вирази (8) і (9) в формулу (5) та зробивши перетворення, одержуємо:

де D – зовнішній діаметр вісі маятника;

m – маса тіла, що обертається і складається з вісі маятника масою mc, ролика масою mp та одного з змінних кілець масою mk, тому m=m0+mp+mk.

Зовнішній діаметр вісі маятника необхідно визначати разом з намотаною на нього ниткою підвісу.

D = D0 + 2 Dн,

де D0 – діаметр вісі маятника,

DH – діаметр нитки підвісу.

Таким чином, за формулою (10) можна експериментально знайти момент інерції маятника Максвелла, враховуючи зроблені зауваження відносно m та D і виконавши необхідні вимірювання.

Моментом інерції механічної системи відносно нерухомої вісі a звуть фізичну величину Ia, що рівна сумі добутків мас всіх n матеріальних точок системи на квадрати їх віддалі до вісі обертання:

Момент інерції тіла можна розрахувати за формулою:

де dm=dV – маса малого елемента об'єму тіла;

 – густина;

r – віддаль від елемента dV до осі a.

Якщо тіло однорідне, тобто густина його скрізь однакова, то

Момент інерції тіла є мірою інертності його в обертовому русі навколо нерухомої вісі, аналогічно масі, що є мірою інертності в поступальному русі тіла.

Момент інерції тіла відносно якої-небудь осі залежить не тільки від маси, форми та розмірів тіла, але й від положення його відносно цієї осі. Згідно з теоремою Штейнера (теорема про паралельне перенесення осей) момент інерції тіла I відносно будь-якої осі обертання дорівнює сумі моменту інерції IC відносно осі, що паралельна даній і проходить через центр маси, та добутку маси тіла на квадрат віддалі між осями:

I=Ic+md2.

Моменти інерції деяких однорідних тіл найпростішої форми відносно певних осей наведені в слідуючій таблиці: 

 

Теоретично момент інерції маятника Максвелла можна визначити як суму моментів інерції його складових елементів, тобто:

де Iо – момент інерції осі маятника;

Ip – момент інерції ролика;

Iк – момент інерції змінного кільця.

Вісь маятника являє собою циліндр (диск), тому її момент інерції дорівнює:

де Dо – діаметр осі маятника.

Ролик являє собою диск з отвором, тому його момент інерції вираховується за формулою:

де Dp – зовнішній діаметр ролика.

Змінне кільце, як і ролик, теж диск з отвором, тому:

де Dк – зовнішній діаметр кільця.

Таким чином, момент інерції маятника Максвелла, визначений експериментально та вирахуваний теоретично може служити основою дослідження справедливості закону збереження механічної енергії в умовах виконання лабораторної роботи.

Ця лабораторна робота виконується на приладі, загальний вигляд якого зображений на рис. 1. До основи приладу прикріплена колонка 1 з верхнім нерухомим 2 та нижнім рухомим 3 кронштейнами. На верхньому кронштейні знаходиться електромагніт 4, фотоелектричний датчик 5 та коробочка 6 для закріплення і регулювання довжини біфілярного підвісу маятника.

Маятник 7 – це ролик, закріплений на осі і підвішений біфілярним способом, на нього накладаються змінні кільця 8, що змінюють момент інерції системи.

В верхньому положенні маятник утримується електромагнітом. Довжина його визначається за міліметровою шкалою на колонці приладу. Для підвищення точності вимірювань нижній кронштейн має червоний покажчик, що розташований на висоті оптичної осі нижнього фотоелектричного датчика.

 

 

Нижній кронштейн приладу зафіксувати в крайньому нижньому положенні.

На ролик маятника накласти довільно вибране кільце.

Пересвідчитись, що край кільця при опусканні маятника перетинає оптичну вісь нижнього фотоелектричного датчика.

Натиснути клавішу «Пуск».

Намотати нитку підвісу на вісь маятника і зафіксувати його з допомогою електромагніта.

Повернути маятник в напрямку його руху на кут близько 50.

Натиснути клавішу «Сброс».

Натиснути клавішу «Пуск» і записати виміряний час падіння маятника.

Дослід повторити 5 разів.

З допомогою шкали на колонці приладу визначити довжину маятника.

Записати маси всіх елементів маятника: осі, ролика, кільця.

Виконати заміри діаметрів осі маятника, нитки, ролика і кільця.

Дані всіх вимірювань занести в таблицю: 

 

 

Визначити середнє значення часу падіння маятника за формулою  

Використовуючи формулу (10) визначити момент інерції маятника за даними експерименту.

За формулою (11) визначити момент інерції цього ж маятника теоретичним способом.

Визначити абсолютну і відносну похибки.

Проаналізувати одержані результати роботи та зробити висновки.