Визначення моментів інерції тіл на основі закону збереження енергії

 

Мета роботи: експериментальна перевірка закону збереження енергії в механіці шляхом визначення моментів інерції тіл кочення.

Прилади і матеріали: установка для визначення моментів інерції тіл; набір тіл кочення; терези; штангенциркуль; лінійка.

Закон збереження та перетворення енергії є одним з фундаментальних законів природи, справедливим для систем як макроскопічних тіл, так і для елементарних частинок. Він є вираженням вічності й незнищуваності руху в природі, який лише переходить із однієї форми в іншу. Цей закон полягає в слідуючому: в ізольованій системі тіл енергія може переходити із одних видів в інші та передаватися від одного тіла до іншого, але її загальна кількість залишається незмінною.

Якщо в ізольованій системі діють тільки потенціальні (консервативні) сили, то взаємні перетворення механічної енергії в інші види (немеханічні форми) відсутні. Така система носить назву ізольованої консервативної системи і для неї дійсний закон збереження та перетворення енергії в механіці: механічна енергія ізольованої консервативної системи тіл не змінюється в процесі її руху:

Закон збереження механічної енергії не можна застосовувати до систем, в яких діють сили тертя або існує залишкова (пластична) деформація, так як частина механічної енергії в процесі руху розсіюється, перетворюється в немеханічні форми, наприклад, в теплоту. Такі системи називаються дисипативними.

Нехай тіло масою m скочується без тертя по похилій площині висотою h. Опором повітря знехтуємо. Так як в цьому випадку діє тільки сила тяжіння, яка є потенціальною (консервативною), то це тіло являє собою ізольовану консервативну систему, до якої можна застосувати закон збереження механічної енергії:

Потенціальна енергія вираховується за формулою:

Кінетична енергія тіла визначається як сума кінетичної енергії поступального та обертового рухів:

де I – момент інерції тіла,

 – його кутова швидкість.

З рівнянь (1) - (3) одержуємо:

Кутова швидкість обертання тіла зв'язана з швидкістю його поступального руху співвідношенням:

де R – радіус тіла.

Рух тіла рівномірноприскорений, тому

υ = at; (6)

де S – довжина похилої площини;

t – час скочування тіла.

З формул (6) і (7) одержуємо:

Підставивши вирази (5) та (8) в (4) і, розв’язавши рівняння відносно I, одержимо:

Таким чином, визначення моменту інерції тіла кочення зводиться до вимірювання його маси, радіуса, висоти похилої площини, довжини шляху та часу скочування.

Але момент інерції тіл правильної форми можна розрахувати теоретично. Дійсно, момент інерції безмежно малого елемента з масою dm відносно осі виражається формулою:

де ri – віддаль елемента до осі обертання.

Для знаходження моменту інерції тіла його розбивають на безмежно велике число безмежно малих елементів, вираховують момент інерції кожного елемента, потім момент інерції тіла визначають сумою моментів інерції всіх його елементів. Ця операція зводиться до інтегрування:

Вирахуємо момент інерції однорідного циліндра відносно осі z, що проходить через центр маси тіла (рис. 1). Для цього виділимо елемент о6’єму циліндра в вигляді кільця завтовшки dr, його об’єм буде:

 тоді:

Значення dm з формули (13) підставляємо в формулу (11) та інтегруємо:

де m – маса тіла;

R – радіус тіла.

Цим способом можна визначити момент інерції будь-якого іншого однорідного тіла правильної форми; результати для найбільш часто поширених тіл приводяться в таблиці 1.

 

 

 

Лабораторну роботу виконують на установці, що являє собою похилу площину, висоту якої можна змінювати. Після ввімкнення установки в мережу досліджуване тіло утримується в верхній частині похилої площини з допомогою електромагніта. Після вимкнення живлення електромагніта тіло починає скочуватись і одночасно вмикається секундомір, який вимикається автоматично тілом, що скочується в кінці похилої площини. При виконанні роботи необхідно:

Спочатку виконати кілька тренувальних пусків тіла; добитись, щоб тіло при скочуванні не торкалось бортиків похилої площини; переконатись у справності секундоміра.

За вказівкою викладача для кожного з досліджуваних тіл (куля, циліндр та ін.) виконати 3-4 вимірювання часу скочування. Знайти середній час скочування кожного тіла.

Заміряти довжину похилої площини та її висоту.

Зважити досліджуване тіло та виконати необхідні вимірювання. Всі результати занести в таблицю 2.

 

 

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

За формулою (9) вирахувати момент інерції досліджуваного тіла експериментальним способом.

За формулою з таблиці 1 для відповідного тіла вирахувати момент інерції теоретично.

Результати експериментальні і теоретичні співставити між собою та зробити висновки.

Знайти абсолютну та відносну похибки експерименту.

 

 

1. Тверде тіло як система матеріальних точок, його момент інерції і кінетична