Рівняння Лагранжа ІІ роду

 

 

Метод рівнянь Лагранжа ІІ роду є найбільш загальним методом, який використовують при розв’язуванні диференціальних рівнянь невільної матеріальної системи точок. Він полягає в складанні цих рівнянь в незалежних узагальнених координатах. Ці рівняння носять назву – рівняння Лагранжа ІІ роду. Інтегрування рівнянь дозволяє визначити узагальнені координати системи матеріальни точок.

Узагальненими координатами механічної системи називають такі незалежні один від одного параметри, заданням яких можна визначити однозначно положення усіх точок системи.

У випадку геометричних в’язей, число узагальних координат дорівнює числу степенів вільності матеріальної системи.

Узагальненими координатами можуть бути як звичайні декартові координати  , так і найрізноманітніші величини (залежно від характеру задачі) – лінійні, кутові, площі фігури та інші. Головне, щоб при виборі узагальнених координат положення системи визначалося б найпростішим способом.

Узагальнені координати позначають:  , де S – число ступенів вільності.

В загальному випадку узагальнені координати можуть залежати від декартових, тобто:  , (11. 1)

де k = 1, 2, …, п – число точок системи.

Наприклад, вільна точка має три узагальнені координати і т. д.

Враховуючи рівняння в’язей, декартові координати можна виразити через узагальнені, тобто:

  (11. 2)

відповідно радіус-вектор для кожної точки має вигляд:

 . (11. 3)

Для голономних в’язей вектор можливого переміщення можна виразити так:

  (11. 4)

Узагальнена швидкість це є перша похідна узагальненої координати по часу, тобто:

 .

Нехай ми маємо кривошипно-шатунний механізм.

 

Рис 11.1

 

Його положення можна визначити заданням положення трьох точок А, В, С, з координатами (0, 0), (xB, yB), (xC, 0). Координат не рівних нулю – 3, тобто: 3N = 3, можна скласти два рівняння в’язей, враховуючи, що АВ=r=const, ВC=l= const

Маємо  

Число ступенів вільності дорівнює S = 3 – 2 = 1, це означає, що з трьох координат не рівних 0, можна задати лише одну незалежно, а решта будуть залежними від неї. Візьмемо за узагальнену координату кут повороту φ тобто:  , тоді решта визначаться:  . Але:  , і нарешті:  .

 

 

Узагальнена сила Qj – це фізична величина, яка залежить від сил у звичайному розумінні і визначається як множник при варіації відповідної узагальненої координати у виразі елементарної роботи:

 , (11. 5)

розмірність узагальненої сили:  .

 

Розглянемо механічну систему, яка складається із n – точок. Система має S – степенів вільності, і отже має q1, q2, …, qS – узагальнених координат. Запишемо суму елементарних робіт сил, що діють на точки системи на можливому переміщенні:  , враховуючи рівність (11. 4), дістанемо:  

 

 , (11. 6)

де   – узагальнена сила. (11. 7)

Користуючись виразом для скалярного добутку трьох векторів маємо:

 

 , (11. 8)

 

де Fkx, Fky, Fkz – проекції сили на осі координат xk, yk, zk – координати точки прикладання сили Fk.

 

 

Умови рівноваги системи виводяться із принципа можливих переміщень. Згідно цього принципу, маємо:  , або так:

 

 . (11. 9)

 

Оскільки узагальнені координати незалежні, то їх варіації також незалежні. Можна прийняти, що  , решта   і визначити з (10. 9) Q1=0 і так далі. Таким чином дістанемо:

 

  (11. 10)

 

Для рівноваги механічної системи на яку накладені голономні, стаціонарні, ідеальні в’язі, у момент, коли швидкості усіх точок системи рівні 0, необхідно і достатньо, щоб усі узагальнені сили були рівними 0.

 

 

Вивчаючи диференціальні рівняння руху системи матеріальних точок у декартових координатах, можна помітити, що кількість рівнянь збільшується при накладанні додаткових в’язей на рухому систему. Метод рівнянь Лагранжа ІІ роду не має цієї істотної хиби, бо число рівнянь дорівнює числу ступенів вільності системи.

Тотожності Лагранжа.

 ; (а)

 . (б)

Якщо прийняти  , а  , то дістанемо:

  (в)

  (г)

Доведення (г) :

Маємо радіус-вектор:  . (д)

Диференціюємо цей вираз по часу t:   (11. 11)

Візьмемо похідну від (11. 11) по   дістанемо:  , (11. 12)

отже тотожність доведено.

Продиференціюємо (11. 11) по узагальненій координаті qj, дістанемо:

  (е)

З другого боку,   є складна функція часу, яка залежить від нього не тільки уявно, але і через узагальнені координати.

За правилом диференціювання складної функції маємо:

  (є)

Порівнюючи (е) з (є), бачимо:  . (11. 13)

Розглянемо кінетичну енергію системи матеріальних точок:

 , (11. 14)

в загальному випадку  , отже кінетична енергія матиме вигляд:

  (11. 15)

Знайдемо частинні похідні від кінетичної енергії за узагальненою швидкістю та узагальненою координатою (11. 14), маємо:

 , (11. 16)

  (11. 17)

Враховуючи (11. 12), рівняння (11. 17) перепишемо у вигляді:

 . (11. 18)

Диференціюємо рівняння (11. 18) по часу:

 . (11. 19)

Виходячи з другого закону Ньютона для к-ої точки системи, можна записати:

 . (*)

помножимо скалярно (*) на   і просумуємо:

 . (11. 20)

Враховуючи (11. 13) і (11. 16) маємо:

 . (11. 21)

Таким чином, рівняння (11. 19) з врахуванням (11. 20) і (11. 21) матиме вигляд:

 . (11. 22)

Оскільки в’язі ідеальні, то  

Рівняння (11. 22) остаточно матимуть такий вигляд:

  (11. 23)

Число таких рівнянь дорівнює числу ступенів вільності, тобто S; де T – кінетична енергія системи, qj – узагальнені координати,   – узагальнені швидкості,   – узагальнені сили, S – число ступенів вільності.