Світ симетрії

Задача 1. Записати взаємно обернену функцію до функції  .

Розв’язання. Дану залежність представимо так:  . Замінивши в ній х і у місцями, знаходимо  . Функції   та   - взаємно обернені функції аргумента х.

Задача 2. У системі координат ХУ побудувати графіки функцій   і  . Які їх особливості?

Розв’язання. За точками побудуємо графіки функції   і   (рис. 62). Графіки симетричні відносно бісектриси І і ІІІ координатного кутів, бо задані функції взаємно обернені (їх побудову можна було спростити, побудувавши спочатку графік одної з них, а другий отримати, використавши їх симетричність). Точка перетину графіка функції   з віссю абсцис переходить у точку перетину оберненої функції   з віссю ординати (у = 1) і навпаки. Інтервали зростання і спадання кожної з функцій збігаються.

9. Графік прямої пропорціональної залежності (вона виражається формулою  , де   – задане число) є пряма, що проходить через початок координат 0 симетрично відносно центра 0, бо функція   непарна. Якщо  , то графік залежності   проходить у першому і третьому координатних кутах або в другому й четвертому координатних кутах (симетрично відносно 0), якщо  .

Графіком обернено пропорціональної залежності ( , де   – задане число) є крива лінія, яка складається з двох окремих гілок, розташованих у першому і третьому координатних кутах (симетрично відносно початку координат, бо функція   непарна) при   або в другому і в четвертому – при  . Ця лінія називається рівносторонньою гіперболою.

Задача. Побудувати графік функції  .

Розв’язання. Спочатку будують першу гілку в другому координатному куті. Це гіпербола. Потім – другу гілку в четвертому координатному куті. Вона симетрична першій відносно центра 0, бо функція   - непарна функція (рис. 63).

Симетрія в мистецькій творчості

Як невіддільна складова духовної культури людства, симетрія заявляє про себе у мистецтві, яке з очевидністю демонструє творчі ідеї. Мистецька творчість, вершина пізнання краси природи й життя, в усіх своїх проявах тяжіє до симетричних форм, без чого тяжіння людини до прекрасного втрачає логічний взаємозв'язок. Це той взірець, найвища мета, через посередність чого людина впродовж віків визначає певний спосіб і характер дії, прямуючи до порядку й бездоганності.

Основні закони композиції творів мистецтва передбачають переносно-тотожне перетворення елементів структури, контрастне і варійоване повторення елементів структури. Коли твір мистецтва викликає у нас якесь захоплення і ми говоримо про його гармонію і красу, ми тим самим торкаємось незмінної невичерпної проблеми – співвідношення між симетрією та асиметрією. Загальне – це симетрія, це структура конкретних об'єктів. Відхід від симетрії у живописі – створення відчуття свободи, розкованості, коли твориться неповторна окрема особистість.

Зразки симетрії відчутні в музичних творах і поезії. У музиці, зокрема, зустрічаємось із рондо, для якої характерне кількаразове повторення основної теми, яка чергується з контрастними епізодами (в куплетній пісні – приспів). У поетичних творах – повторення групи слів, рядка або кількох віршованих рядків наприкінці строфи або групи строф.

Творцем прекрасного в природному довкіллі є сама природа, яка розмаїто і гармонійно поєднує в собі безліч ідеалів симетрії і асиметрії. Вони проявляють себе у формі листиків і квітів низки рослин, дерев, також сніжинок, у розміщенні багатьох органів тварин і людини.

Симетрія допомагає математикам установлювати найрізноманітніші тіла з єдиних геометричних позицій. Тому часто ці ідеї використовують у будівництві і техніці, у мистецтві архітектури. Тут симетрія - один з видів гармонічної композиції і використовується як принцип побудови бордюг і орнаментів. 

 

1. Чи прийнятні для дерев (рослин) поняття лівої або правої, фасадної чи тильної сторін? Чому?

2. Про що свідчить збереження біологічних властивостей при переході від одного покоління до другого, що зустрічається у природі?

3. До чого переважно зводиться симетрія величної картинки зоряного неба й непорушна тисячоліттями періодичність небесних явищ у земних умовах?

4. Виконується рівність  . Відносно якої точки графік цієї функції симетричний?

10. Яку симетрію має фігура, у якої відрізки, промені і відрізки при геометричному перетворенні антипаралельні?

11. Яку симетрію має косокутний паралелепіпед і кристал мідного купоросу (рис.64)? Чи часто об’єкти з такою симетрією зустрічаються в природі і технічних конструкціях?

12. Яка з площин (1-1; 2-2; 3-3), що на рис.65, не являє собою елемент симетрії? Чому?

13. Яка симетрія властива траєкторії снаряда у полі сил тяжіння?

14. Який вигляд матиме предмет при повторному відбитті у дзеркалі?

15. Ви розглядаєте зображення якогось об’єкта у системі двох взаємно перпендикулярних дзеркал. Що ви побачите? Переконайтесь у цьому практично.

16. Світловий промінь падає паралельно до першого з нахилених один до одного під кутом   дзеркал. Відбившись від другого, промінь відбивається від першого, а потім від другого дзеркала. Тоді після відбиття від другого і першого ще раз відбивається від другого й повертається так само назад. Визначити кут  .

17. Із світної точки А на плоске дзеркало падає пучок проміння. Побудувати зображення точки А. Яке це зображення: дійсне чи уявне?

18. На лівому березі водойми висить