Теорема про змiну кiнетичної енергiї

Предмет:

Фізика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

6. ТЕОРЕМА ПРО ЗМIНУ КIНЕТИЧНОЇ ЕНЕРГIЇ

При розгляданнi теореми про змiну кiнетичної енергiї необхiдно ввести поняття "робота сили", а також способи її обчислення.

6.1. Робота сили

а).Елементарна робота сили.

Елементарна робота сили характеризує дію сили на елементарному переміщенні.

Робота сили на нескiнченно малому перемiщеннi є скалярна величина, яка дорівнює скалярному добутку на :

.(6.1)

Або: (6.2)

Рис.6.1.

Елементарна робота є скалярна величина. Знак її визначається знаком проекцiї сили .

Якщо:

Якщо рiвняння (6.1) подiлити на dt і помножити на dt, то одержимо:

. (6.3)

Елементарна робота сили дорiвнює скалярному добутку елементарного iмпульсу сили на швидкiсть точки. Якщо силу i радiус-вектор розкласти по осях координат, то: , або , то

.(6.4)

Рiвняння (6.4) виражає елементарну роботу сили в аналітичній формі.

б).Повна робота сили

Повна робота сили характеризує дію сили на кінцевому переміщенні.

Тодi маємо:

.(6.5)

В відповідності до трьох спосоюів задання руху точки запишемо формулу для визначення повної роботи сили в трьох формах:

Векторна форма: . (6.6)

Аналітична форма: .(6.7)

Натуральна форма: .(6.8)

При t = 0 точка займає положення M0, а при t = t1 – положення M.

в). Робота рiвнодiйної сили .

Якщо на точку дiє система збiжних сил, то елементарна робота рiвнодiйної сили дорiвнює алгебраїчнiй сумi елементарних робiт сил:

.(6.9)

Повна робота рiвнодiйної сили дорiвнює алгебраїчній сумі повних робіт складових сил:

.(6.10)

6.2. Обчислення роботи сили в окремих випадках

Рис 5.2

У випадку, коли матерiальна точка рухається вздовж прямої пiд дiєю сталої сили , робота сили дорiвнює:

, (6.11)

F - модуль сили, що дiє на точку;

M0M = s - пройдений шлях,

α - кут мiж напрямом перемiщення i напрямом сили.

а.) Робота сили тяжіння

Нехай точка М рухається по кривій МоМ1. На точку дiє сила тяжіння , що напрямлена вертикально вниз.

Виберемо декартову систему координат. Проекцiї сили на осi х,y,z будуть дорiвнювати: . За допомогою формули (6.7) матимемо: ;

- рiзниця висот матерiальної точки над горизонтальною площиною. Таким чином маємо:

,(6.12)

“+“ вiдповiдає додатнiй рiзницi, “-“ вiдповiдає вiд'ємнiй рiзницi.

Якщо матерiальна точка наближається до земної поверхнi (напрям векторної сили i вектора перемiщення збiгаються, то робота сили ваги буде додатня:

. (6.13)

Якщо матерiальна точка вiддаляється вiд земної поверхнi, то робота сили ваги вiд'ємна:

. (6.14)

Якщо висоти початкового i кiнцевого положень матерiальної точки однаковi,(при русi по замкненiй траєкторiї), то .

б). Робота лінійної сили пружності

Лiнiйною силою пружностi називають силу, яка пропорційна подовженню (або вкороченню) пружини:

,(6.15)

Рис.6.4.

де - вiддаль вiд точки рiвноваги, де сила дорiвнює 0,

с - сталий коефiцiєнт пружностi.

Виберемо початок координат у точцi O рiвноваги, тодi маємо: .

Робота сили на перемiщеннi вiд точки М0 до точки М буде мати вигляд:

де .

Iнтегруючи, дiстанемо: .(6.16)

За допомогою формули (6.16) обчислюють роботу сили пружностi при перемiщеннi по будь-якому шляху з точки М0, де її початкова деформацiя (видовження) дорiвнює , в точку М1, де деформація дорівнює .

Тодi у нових позначеннях (6.16) має вигляд: .(6.17)

Якщо перемiщення iде з положення рiвноваги (пружина недеформована), де в положення з деформацiєю , робота сили пружностi дорiвнює: (6.18)

Робота сили пружностi не залежить вiд траєкторiї i на замкнутому перемiщеннi дорiвнює нулю.

Рис.6.5.

в). Робота сили тертя ковзання

При русi точки по шорсткiй поверхнi на неї дiє сила тертя ковзання:

Сила тертя пропорцiйна нормальнiй реакцiї i напрямлена протилежно перемiщенню:

. (6.19)

Робота сили тертя дорiвнює:

. (6.20)

Якщо величина сили тертя є стала, то робота має вигляд:

.(6.21)

Таким чином робота сили тертя ковзання завжди вiд'ємна i залежить вiд траєкторiї руху точки, крiм того по замкненiй траєкторiї робота сили тертя не дорiвнює нулю.

г). Робота сили, що прикладена до твердого тіла.

а). Поступальний рух твердого тiла.

При поступальному русi твердого тiла всi точки тiла мають однакові швидкостi за модулем та напрямком.

Отже, , де - швидкiсть центра мас тiла. Тодi: , де – радіус-вектор довільної точки тіла.

Повна робота:

.(6.22)

б). Обертальний рух твердого тiла.

Рис.6.6.

За формулою Ейлера запишемо: .

Визначимо елементарну роботу сили : .

Зробимо перетворення: . Тоді: ,

де – момент сили відносно точки О.

Враховуючи, що - момент сили вiдносно осi Oz і , запишемо:

. Значить:

.(6.23)

Елементарна робота сили, яка прикладена до будь-якої точки тiла, що обертається навколо нерухомої осi, дорiвнює добутковi момента сили вiдносно осi обертання на диференцiал кута повороту тiла.

Повна робота сили:

.(6.24)

Якщо момент сили вiдносно осi обертання є сталою величиною, то:

.(6.25)

6.3. Потужність

Потужнiсть W характеризує швидкiсть виконання роботи за одиницю часу:

,(6.26)

де - швидкiсть точки.

Одиницi вимiрювання:

а) роботи: кГм, джоуль;

б) потужностi: , ватт.

Кiнетична енергiя матерiальної точки.

Кiнетичною енергiєю матерiальної рухомої точки називається скалярна величина, що дорiвнює половинi добутку маси точки на квадрат її швидкостi:

.(6.27)

Якщо рух точки задано в координатнiй формi, то кiнетична енергiя має вигляд:

.(6.28)

Отже, кiнетична енергiя завжди додатня i є однiєю з мiр руху матерiальної точки.

Розмiрнiсть її: і .

6.4. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки

Для матерiальної точки запишемо основне рiвняння динамiки: .

Так як , то:

.(1)

Скалярно помножимо обидвi частини рiвняння (1) на :

, . Так як , то

.(6.29)

Диференцiал вiд кiнетичної енергiї матерiальної точки дорiвнює алгебраїчній сумi елементарних робiт усiх сил (або рiвнодiйної сили), прикладених до точки.

Якщо рiвняння (6.29) подiлити на dt, то отримаємо: .

Значить: .(6.30)

Похiдна по часу вiд кiнетичної енергiї матерiальної точки дорiвнює потужностi.

Iнтегруючи рiвняння (6.29), дiстанемо:

.(6.31)

Рiвняння (6.31) виражає теорему про змiну кiнетичної енергiї матерiальної точки на скінченному промiжку шляху.

Змiна кiнетичної енергiї точки на скiнченному промiжку шляху дорівнює алгебраїчній сумi робiт усiх сил, якi дiють на точку на цьому ж вiдрiзку шляху.

Примітка

Теорему про змiну кiнетичної енергiї матерiальної точки для невiльного руху записують так:

,(6.32)

.(6.33)

6.5 Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок

Кінетична енергія системи матеріальних точок – скалярна величина, яка дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій матеріальних точок системи:

.(6.34)

Теорема.

Диференціал від кінетичної енергії системи матеріальних точок дорівнює арифметичній сумі елементарних робіт всіх зовнішніх і внутрішніх сил, які діють на механічну систему:

.(6.35)

Доведення.

Нехай механічна система рухається довільним чином в просторі під дією внутрішніх і зовнішніх сил.

Рис.6.7

Запишемо теорему про зміну кінетичної енергії диференціальній формі для кожної із точок:

Просумувавши праві і ліві частини, одержимо:

Так як , то одержимо:

.(6.36)

Рівність (6.36) виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок в диференціальній формі.

Диференціфл кінетичної енергії механічної системи дорівнюе алгебраїчній сумі елементарних робіт всіх зовнішніх і внутрішніх сил, які діють на механічну систему.

Інтегруючи рівняння (6.36), одержимо:

.(6.37)

Рівність (6.37) виражає теорему про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок в кінцевій інтегральній формі:

Зміна кінетичної енергії механічної системи на деякому переміщенні дорівнює алгебраїчній сумі робіт зовнішніх і внутрішніх сил, які діють на систему, на цьому ж переміщенні.

Примітка.

На відміну від інших загальних теорем – це єдина теорема, яка враховує роботу внутрішніх сил.

6.6. Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок для незмінних систем

Незмінними називаються системи, віддалі між точками прикладення внутрішніх сил яких не змінюється.

Рис.6.8.

Для незмінних систем сума робіт внутрішніх сил на переміщенні дорівнює нулю.

Для абсолютно твердого тіла .

Визначимо суму робіт внутрішніх сил на елементарному переміщенні: . Так як , то .

Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок для незмінних систем має вигляд:

в диференціальній формі:

,(6.38)

в кінцевій інтегральній формі:

.(5.39)

6.7. Визначення кінетичної енергії тіла при різних його рухах

а). Поступальний рух твердого тіла.

При поступальному русі твердого тіла всі точки тіла мають геометрично рівні швидкості: , де – швидкість центра мас.

Рис.6.9.

Визначимо Тпост.: .

Отже: ,(6.40)

де M – маса тіла.

б). Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі.

При обертальному русі:

Кінетична енергія точки К з масою mk рівна:

Обчислимо кінетичну енергію тіла:

Рис.6.10.

Значить: ,(6.41)

де Iz – момент інерції тіла відносно осі обертання.

в). Плоскопаралельний рух твердого тіла.

Рис.6.11.

Плоскопаралельний рух твердого тіла розкладається на два прості рухи: поступальний рух разом з центром мас і обертальний навколо осі , яка проходить через центр мас і перпендикулярна до плоскої фігури.

Отже: (6.42)

або ,(6.43)

де – момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через точку Р – м. ц. ш. і перпендикулярна до плоскої фігури.