Теорема про змiну моменту кiлькостi руху матерiальної точки i про змiну кiнетичного моменту механiчної системи

Предмет:

Фізика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

5. ТЕОРЕМА ПРО ЗМIНУ МОМЕНТУ КIЛЬКОСТI РУХУ МАТЕРIАЛЬНОЇ ТОЧКИ I ПРО ЗМIНУ КIНЕТИЧНОГО МОМЕНТУ МЕХАНIЧНОЇ СИСТЕМИ

Момент кiлькостi руху матерiальної точки вiдносно якогось центра О є вектор, що дорiвнює векторному добутку радiус-вектора рухомої точки вiдносно центра О на вектор кiлькості руху цiєї точки.

Напрямок визначається як напрямок вектора, який дорівнює векторному добутку.

По модулю вектор дорiвнює добутку модуля кiлькостi руху матерiальної точки на плече h, тобто:

, (5. 2)

де h – довжина перпендикуляра, опущеного з точки О на напрямок вектора .

Рис. 5. 2

Момент кiлькостi руху матерiальної точки вiдносно координатної осi обчислюється за формулою:

(5. 3)

– величина проекцiї вектора на площину, перпендикулярну до осi системи координат.

Якщо центр є початок координат, то момент кiлькостi руху точки вiдносно точки О (центра) можна записати:

; , (5. 4)

– є проекції момента кількості руху відносно центра О на осі системи координат, що визначаються за формулами

(5. 5)

Одиниці вимірювання в системі СІ – [н∙м∙с].

5.1 Теорема про зміну моменту кількості руху матеріальної точки

Похiдна по часу вiд моменту кiлькостi руху матерiальної точки вiдносно якогось центру О дорiвнює моментовi рівнодійної сили, яка дiє на цю точку вiдносно того ж центру:

. (5. 6)

Для матерiальної точки основне рiвняння динамiки має вигляд або . Помножимо радіус вектор векторно на обидвi частини рiвняння: , так як: і , , одержимо:

. (5. 7)

Спроектуємо векторну рівність 5. 7 на OX, OY, OZ:

(5. 8)

Тобто: похiдна по часу вiд моменту кiлькостi руху матерiальної точки вiдносно будь-якої нерухомої осi дорiвнює моменту рiвнодiйної сили вiдносно тiєї ж осi

5.2 Закони збереження моменту кількості руху матеріальної точки

Якщо момент рiвнодiйної сили прикладеної до матерiальної точки вiдносно якогось центру О дорiвнює нулю, то момент кiлькостi руху точки вiдносно цього ж центру є сталий вектор:

(5. 9)

Якщо момент рiвнодiйної сили вiдносно якоїсь осi дорiвнює нулю, то момент кiлькостi руху матерiальної точки вiдносно цiєї осi залишається сталим:

. (5. 10)

5.3 Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи

Кiнетичним моментом системи матерiальних точок або головним моментом кiлькостi руху механiчної системи вiдносно будь-якої нерухомої точки О називається вектор o, який дорівнює геометричній сумі моментiв кiлькостей руху точок системи вiдносно даної точки:

(5. 11)

або (5. 12)

Проекцiї кiнетичного моменту на осi координат мають вигляд:

(5. 13)

Визначимо кiнетичний момент тiла, яке обертається навколо нерухомої осi.

Для довiльної точки тiла, яка знаходиться на вiддалi вiд осi обертання лінійна швидкiсть . Для цiєї точки: . Тодi для всього тiла: . Значить:

(5. 14)

Iz-момент інерції тіла відносно осі.

Нехай на точки механiчної системи дiють зовнiшнi i внутрiшнi сили. Запишемо для кожної точки теорему про змiну моменту кiлькостi руху точки відносно центра ”O”:

(a)

Рис. 5. 3.

Просумуємо для всiх точок рiвняння (а) : ;

– головний момент внутрiшнiх сил вiдносно центра “О”, який дорiвнює нулю.

– головний момент зовнiшнiх сил вiдносно центра “О”.

Так як , то одержимо:

. (5. 15)

Отже, похiдна по часу вiд кiнетичного моменту механiчної системи вiдносно будь-якого центра “О” дорiвнює головному моменту зовнiшнiх сил, що дiють на систему вiдносно даного центра “О”.

Проектуючи векторне рiвняння (5. 15) на осi декартової системи координат, одержуємо три рiвняння:

. (5. 16)

– проекцiї вектора головного зовнiшнiх сил на декартовi осi координат.

Похiдна по часу вiд кiнетичного моменту системи вiдносно будь-якої осi дорiвнює проекції головного моменту зовнiшнiх сил, якi дiють на систему, на даної осi.

5.4 Закони збереження кінетичного момента системи відносно точки і осі

Якщо головний вектор момента зовнiшнiх сил вiдносно точки О дорiвнює нулю, то кiнетичний момент системи є сталий вектор: якщо , то

. (5. 17)

З математичного погляду спiввiдношення закону збереження моменту кiлькостi руху є першим iнтегралом диференцiйних рiвнянь руху системи.

Якщо проекцiя головного моменту зовнiшнiх сил на якусь нерухому вiсь дорiвнює нулю, то кiнетичний момент системи вiдносно даної нерухомої осi є сталою величиною: якщо , то

(5. 18)

Вищеназваний закон зостосовується тодi, коли:

а) система матерiальних точок рухається пiд дiєю зовнiшнiх сил, якi протягом всього часу залишаються паралельними якiйсь нерухомiй осi;

б) коли одна з величин або всi вони одночасно заданi як функцiї часу;

в) частина тiл, що утворюють матерiальну систему, рухається поступально, але кiнематичнi елементи цих рухiв (швидкiсть, прискорення) можна визначити як функцiї кiнематичних елементiв обертального руху одного з тiл системи.

Наприклад: нерухомий блок з пiдвiшеними до нього за допомогою ниток тягарцями, де швидкостi цих тягарців дорiвнюють швидкостям точок обода, iншим прикладом є диск, який обертається навколо вертикальної осi i матерiальна точка, що рухається з якоюсь вiдносною швидкiстю по хордi диска.

5.5 Диференційне рівняння обертового руху твердого руху навколо нерухомої осі

Tеоремa про змiну моменту кiлькостi руху матерiальної системи дає змогу скласти диференцiальне рiвняння обертання твердого тiла навколо нерухомої осi. Запишемо теорему: . Так як де – величина стала, (момент iнерцiї тiла вiдносно осi

(a)

обертання), – кутова швидкiсть обертання. Підставимо Lz в рівняння (а) :

(5. 19)

Якщо ввести кут обертання , то враховуючи, що , матимемо диференціальне рівняння обертального руху тіла навколо нерухомої осі:

. (5. 20)

Користуючись диференцiйним рiвнянням обертального руху твердого тiла навколо нерухомої осi, можна дослiдити, наприклад:

а) коливання фiзичного маятника;

б) обертання маховикiв;

в) обчислити експериментально моменти iнерцiї однорiдних тiл довiльної форми;

г) коефiцiєнти тертя пiдшипникiв, та iн.

Рiвняння (5. 20) застосовують у тих випадках, коли елементи руху (кутова швидкiсть, кутове прискорення, прикладенi сили) заданi як функцiї часу. У тих випадках, коли час явно не входить в умову задачi i коли елементи руху є функцiями кута повороту тiла навколо осi обертання, слiд застосувати теорему про змiну кiнетичної енергiї.

Диференцiйне рiвняння обертового руху твердого тiла навколо нерухомої осi обертання у загальному випадку дозволяє розвя’зувати двi задачi:

а) по заданому закону обертання знайти момент зовнiшнiх сил, що дiють на тiло;

б) по заданих моментах зовнiшнiх сил та початкових умовах знайти закон обертання тiла.