Теореми про змiни кiлькостi руху матерiальної точки i механiчної системи

Предмет:

Фізика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

4. ТЕОРЕМИ ПРО ЗМIНИ КIЛЬКОСТI РУХУ МАТЕРIАЛЬНОЇ ТОЧКИ I МЕХАНIЧНОЇ СИСТЕМИ

Для розв'язання багатьох задач динамiки, особливо динамiки системи, замiсть iнтегрування диференцiальних рiвнянь руху точок системи бiльш зручно користуватися так званими загальними теоремами динамiки, якi є наслiдками основного закону динамiки.

4.1 Iмпульс сили і його проекції на координатні осі

Для характеристики дiї сили на тiло за деякий промiжок часу введемо поняття про iмпульс сили. Елементарним iмпульсом сили називається векторна величина, яка дорiвнює добутку вектора сили на елементарний промiжок часу dt:

. (4. 1)

Напрямок вектора елементарного iмпульсу сили спiвпадає з напрямком лiнiї дiї сили.

Iмпульс сили за кiнцевий промiжок часу t визначається як iнтегральна сума вiдповiдних елементарних iмпульсів:

. (4. 2)

Якщо сила постiйна по величинi i по напрямку, то iмпульс такої сили за час t рiвний

. (4. 3)

Проекцiї iмпульсу сили на координатнi осi рiвнi:

(4. 4)

Знаючи проекцiї iмпульсу сили на координатнi осi, легко знайти модуль вектора iмпульсу i його напрямок.

(4. 5)

(4. 6)

Одиницi вимiру iмпульсу сили в SI i в технiчнiй системi одиниць:

SI – Н. с, технічна система: Кг. с.

4.2 Кількість руху точки і механічної системи

Pис. 4. 1

Кiлькiстю руху матерiальної точки називається векторна величина, яка дорiвнює добутку маси точки на її швидкiсть: .

Кiлькiсть руху матерiальної точки, яка залежить вiд маси i швидкостi, являється мiрою механiчного руху.

Якщо вiдомi проекцiї кiлькостi руху на координатнi осi, то модуль вектора i його напрямок можна визначити за формулами:

; (4. 7)

. (4. 8)

Рис. 4. 2.

Кiлькiстю руху механiчної системи називається векторна величина, що дорiвнює геометричнiй сумi кiлькостей руху точок цiєї системи.

Якщо окрема точка К має кiлькiсть руху , то кiлькiсть руху системи

(4. 9)

Виразимо кiлькiсть руху системи через швидкiсть центра мас механiчної системи:

. Враховуючи, що , то , отже .

Значить (4. 10)

Вектор кiлькостi руху системи дорiвнює добутку маси системи на швидкiсть центра її мас.

З виразу (4. 10) видно, що коли механiчна система рухається таким чином, що її центр мас залишається нерухомим, то кiлькiсть руху системи дорiвнює нулю. Наприклад, кiлькiсть руху твердого тiла, що обертається навколо нерухомої осi, яка проходить через її центр мас, дорiвнює нулю.

Якщо тiло здiйснює складний рух, то величина не буде характеризувати обертальну частину руху навколо центра мас. Наприклад, для колеса, що котиться, його кiлькiсть руху не залежить вiд того, як обертається колесо навколо центра мас.

Таким чином, кiлькiсть руху характеризує тiльки поступальний рух системи.

4.3 Теорема про зміну кількості руху точки

Запишемо основне рiвняння динамiки: . Так як , то . Оскільки , то

. (4. 11)

Похiдна вiд кiлькостi руху точки по часу дорiвнює геометричнiй сумi всiх сил, якi дiють на точку. Рiвняння (4. 11) виражає теорему про змiну кiлькостi руху матерiальної точки в диференцiальнiй формi. Проектуючи обидвi частини векторного рiвняння на координатнi осi Ох, Оу, Оz одержимо:

. (4. 12)

Данi рiвняння виражають теорему про змiну кiлькостi руху точки в диференцiальнiй формi в проекцiях на координатнi осi. Нехай в момент часу точка має швидкiсть , а в момент часу t швидкiсть . Домножимо лiву i праву частини рiвняння на dt i вiзьмемо вiд них визначенi iнтеграли: . Оскільки , то:

(4. 13)

Рiвняння (4. 13) виражає теорему про змiну кiлькостi руху матерiальної точки в iнтегральнiй формi. Змiна кiлькостi руху матерiальної точки за якийсь промiжок часу дорiвнює геометричнiй сумi iмпульсiв всiх дiючих на точку сил за цей же промiжок часу.

Проектуючи обидвi частини рiвняння (4. 13) на осi координат Ох, Оу, Оz, одержимо:

, де . (4. 14)

Рiвняння (4. 14) виражають теорему про змiну кiлькостi руху матерiальної точки в скiнченнiй формi в проекцiях на координатнi осi: змiна проекцiї кiлькостi руху матерiальної точки за якийсь промiжок часу на будь-яку вiсь дорiвнює алгебраїчнiй сумi проекцiй iмпульсiв всiх дiючих на точку сил, за той же промiжок часу на ту ж вiсь.

З рiвняння (4. 13) випливає: якщо , то або . (4. 15)

Рiвняння виражає закон збереження кiлькостi руху матерiальної точки: якщо геометрична сума iмпульсiв всiх сил, прикладених до точки, за деякий час дорiвнює нулю, то кiлькiсть руху точки за цей час лишається сталою

З рiвнянь (4. 14) випливає: якщо , то або . (4. 16)

Останнє рiвняння виражає закон збереження проекцiй кiлькостi руху матерiальної точки на якусь вiсь: якщо проекцiя iмпульсу рiвнодiючої сил, що дiють на точку, на якусь вiсь за деякий час дорiвнює нулю, то проекцiя кiлькостi руху точки на ту ж вiсь за той же час лишається сталою.

4.4 Теорема про зміну кількості руху механічної системи

Запишемо вираз (4. 10) для кiлькостi руху механiчної системи i продиференцiюємо це рiвняння по часу , але згiдно теореми про рух центра мас механiчної системи . Тому:

(4. 17)

Рівняння (4. 17) є математичним виразом теореми про змiну кiлькостi руху механiчної системи в диференцiальнiй формi: похiдна по часу вiд кiлькостi руху механiчної системи дорiвнює геометричнiй сумi всiх дiючих на систему зовнiшнiх сил.

Проектуючи векторне рiвняння (4. 17) на осi прямокутної декартової системи координат, отримаємо:

. (4. 18)

Рiвняння (4. 18) виражають теорему про змiну кiлькостi руху механiчної системи в диференцiальнiй формi в проекцiях на осi координат: похiдна по часу вiд проекції кiлькостi руху механiчної системи на будь-яку вiсь дорiвнює алгебраїчнiй сумi проекцiй всiх зовнішнiх сил, що дiють на систему на цю саму вiсь.

Домножимо лiву i праву частини рiвняння (4. 17) на dt i проiнтегруємо отриманi вирази: . Отже , (4. 19) де .

Рiвняння (4. 18) виражають теорему про змiну кiлькостi руху механiчної системи в iнтегральнiй, або кiнцевiй формi (векторний вираз) : змiна кiлькостi руху механiчної системи за деякий промiжок часу дорiвнює геометричнiй сумi iмпульсiв зовнiшнiх сил, що дiють на систему за цей промiжок часу.

Проектуючи (4. 19) на осi прямокутної декартової системи координат, отримаємо математичний вираз теореми про змiну кiлькостi руху механiчної системи в iнтегральнiй формi в проекцiях на осі Оx, Оy, Оz:

. (4. 20)

Змiна проекцiї кiлькостi руху механiчної системи на будь-яку вiсь за деякий промiжок часу дорiвнює алгебраїчнiй сумi проекцiй iмпульсiв всiх зовнішніх сил, що дiють на систему за цей промiжок часу на ту ж вiсь.

Наслiдки з теореми:

1. Якщо , тобто якщо геометрична сума всiх зовнiшнiх сил, що дiють на систему, за деякий промiжок часу дорiвнює нулю, то кiлькiсть руху системи за цей промiжок часу лишається сталою. Значить

2. Якщо , тобто якщо алгебраїчна сума проекцiй всiх зовнiшнiх сил, що дiють на систему, на будь-яку вiсь за деякий промiжок часу дорiвнює нулю, то проекцiя кiлькостi системи за цей же промiжок часу на ту ж вiсь залишається сталою. Значить

З цих наслiдкiв слiдує, що внутрiшнi сили не можуть змiнити кiлькостi руху системи.