Теорія технічних систем

У більшості випадків чітке і од-нозначне формування обмежень на зас-тосування методу викликає певні труд-нощі. Ймовірність успішного застосу-вання методу в окресленому колі задач менша одиниці. Ця ймовірність є кіль-кісною оцінкою важливої властивості методів і алгоритмів, яка називається надійністю.

Відмови у розв'язку задач можуть проявлятись у розбіжності ітераційного процесу, у перевищенні похибок гранично допустимих значень і т.п. Причинами відмов можуть бути погана обгрунтованість MM, обмежена область збіжності, обмежена стійкість.

До методів і алгоритмів аналізу, як і до MM, висувають вимоги точності і еконо-мічності. Точність характеризується ступенем співпадіння точного розв'язку рівнянь заданої моделі і наближеного розв'язку, отриманого з допомогою оцінюваного методу, а економічність - витратами обчислювальних ресурсів на реалізацію методу (алгоритму).

Оцінки точності і економічності можуть бути і теоретичними і експерименталь-ними.

 

 

Аналіз перехідних динамічних процесів є основним видом одноваріантного аналізу технічної системи. При цьому визначаються залежності фазових змінних від часу при заданих значеннях внутрішніх і зовнішніх параметрів.

MM, що описує динамічні властивості технічної системи, представляє собою сис-тему звичайних диференціальних рівнянь (ОДР). При цьому MM може бути отримана або в певній формі ОДР, або в нормальній формі Коші.

Неявна форма ОДР представляє динамічну поведінку технічної системи в загаль-ному вигляді: ,

де,   - вектор фазових змінних, достатніх для визначення стану модельованої технічної системи, розмірністю n;   - вектор похідних фазових змінних по часу, причому вектор   має тільки 1 ненулевих елементів (1 < η);   - вектор функція; t - час. Початковими умовами є Vo = V | t = 0.

Частковим випадком вказаної системи рівнянь є MM, що описана ОДР в нормаль-ній формі Коші: ,

де,   - вектор змінних стану модельованої технічної системи, розмірністю n;   - век-тор функція. Початковими умовами є  . Аналіз динамічних процесів зво-диться до аналітичного або чисельного інтегрування ОДР.

Для більшості проектованих динамічних технічних систем перехідні процеси но-сять асимптотично стійкий характер, тобто при t → ∞ технічні системи переходить в певний стійкий стан. В зв’язку з цим дуже важливою задачею одноваріантного аналізу є розрахунок значень фазових змінних технічних систем в стійкому стані, тобто аналіз статичного режиму технічної системи. Іноді динамічний об’ект має декілька стійких станів і тоді необхідно розрахувати декілька його статичних режимів.

Аналіз статичного режиму можна здійснити, інтегруючи початкову систему ОДР на достатньо великому інтервалі часу (метод установлення). Це надійний, але не завжди ефективний метод.

В статиці похідні фазових змінних по часу дорівнюють нулю ( ) і від-сутні зміни в часі зовнішньої дії. Тому MM статичних станів можна виділити безпосе-редньо із MM динамічних процесів. В результаті отримаємо систему алгебраїчних рівнянь відносно відповідних змінних: .

Таким чином, одноваріантний аналіз статичних режимів технічних систем зводиться до розв'язку системи алгебраїчних рівнянь (АР) n-го порядку. Для розв'язку застосовують різні ітераційні методи.

В ряді областей техніки частина вихідних параметрів технічних систем визна-чається на основі аналізу частотних характеристик. При такому аналізі, як правило, допустима лінеаризація MM. Отже, система ОДР може бути представлена у вигляді:

 ,

де   - матриці з постійними або залежними від часу коефіцієнтами;   - задана вектор-функція, що відображає зовнішні дії на об'єкт аналізу.

Задаючись синусоїдальною зовнішнєю дією на один із входів технічних систем і використовуючи для алгебраїзації вказаної лінійної системи ОДР перетворення Фур'є.

Розв'язок цієї системи звичайно здійснюється методом Гауса для ряду значень частоти w. Отримані залежності U(w) представляють собою частотні характеристики технічних систем, за якими визначають такі вихідні параметри, як резонансні частоти, полосу пропускання і т.д.

При проектуванні систем автоматичного управління важливе значення має задача динамічної стійкості. Аналіз стійкості може бути виконаний або безпосереднім інтег-руванням системи ОДР, або її дослідженням у відповідності із відомими критеріями стій-кості.

Найбільше розповсюдження при розрахунку лінійних систем отримали алгебраїч-ний критерій Гурвіца, частотні критерії за годографом Найквіста і за логарифміч-ними частотними характеристиками (ЛЧХ).

Аналіз чутливості полягає у визначенні впливу внутрішніх і зовнішніх параметрів 

на вихідні параметрі, які називають коєфіціентами чутливості (впливу).

Статичний аналіз виконується з метою отримання інформації про розсіювання вихідних параметрів і розрахунку ймовірністі виконання умов працездатності при задан-них статистичних даних.

 

 

Більшість задач аналізу технічних систем зводяться до розв'язку систем алгебраїч-них і звичайних диференціальних рівнянь. З розвитком автоматизованих розрахунків найбільш вживаними стають чисельні методи і алгоритми.

Серед чисельних методів апроксимації виділяють задания стандартних функцій шляхом представлення їх у вигляді рядів. Зокрема, використовують ряд функцій, ряд Тейлора, застосовують інтерполяцію для апроксимації функції, та інші.

Найбільш часто використовують лінійно-кускову і параболічну інтерполяцію.

Чисельний розв'язок рівнянь включає чисельне диференціювання, чисельне ін-тегрування функції, чисельне інтегрування звичайних диференціальних рівнянь, розв'я-зок систем лінійних рівнянь, розв'язок нелінійних алгебраїчних рівнянь і т.д. Якщо функція задана таблично, то найпростіші формули чисельного диференціювання отри-мують в результаті диференціювання інтерполяційних формул. Найпростіша формула чисельного інтегрування функції - формула прямокутників базується на визначенні інтегралу. Часто використовують також формули трапецій і Сімпсона.

Чисельне інтегрування звичайних диференціальних рівнянь можливе як явни-ми, так і неявними методами. Найпростіша формула чисельного інтегрування ОДР - формула явного методу Ейлера, використовують також неявний метод Ейлера, мето-ди Адамса, Рунге-Кутта та інші.

В систему лінійних алгебраїчних рівнянь закладено метод виключень Гауса.

 

 

Процедури аналізу технічних процесів передбачають розв'язок їх функціональних моделей. Функціональні моделі відображають фізичні процеси, що мають місце в тех-нічних системах (у обладнанні, інструменті, пристосуванні, оброблюваному матеріалі).

Розповсюдженими є дискретні моделі, змінні яких дискретні, а множина рішень обмежена. В більшості випадків проектування технічних процесів використовують ста-тичні моделі, рівняння яких не враховують інерційнІсть процесів в технічних системах.

За формою зв'язків між вихідними, внутрішніми і зовнішніми параметрами при здійсненні технічних процесів розрізняють моделі у вигляді систем рівнянь (алгорит-мічні моделі) і моделі у вигляді явних залежностей вихідних параметрів від вну-трішніх і зовнішніх (аналітичні моделі). Опис математичних співвідношень на рівнях структурних, логічних і кількісних властивостей приймає конкретні форми в умовах певного технічного процесу. Вибір типу ММ, найбільш ефективної в умовах конкретної задачі, визначається сутністю технічного процесу, формою представлення початкової інформації, загальною метою дослідження.

Особливості процедур аналізу технічних процесів в залежності від складності задач визначають різні принципи побудови і вибору моделей. Часто виникає необхідність розробки менш точної моделі, але разом з тим більш корисної для практики. Виникають дві задачі: з одного боку, - треба розробити модель, на якій простіше отримати чисельні розв'язання, а з другого - забезпечити максимально можливу точність моделі. З метою спрощення для аналізу використовують такі прийоми, як виключення параметрів, змі-на характеру параметрів, зміна функціональних співвідношень між параметрами (наприклад, лінійна апроксимізація), зміна обмежень (їх модифікація, поступове вклю-чення обмежень до умови задачі). Процедури аналізу технічних процесів передбачають використання типових методів і алгоритмів рішення задач.