Теорія удару

Предмет:

Фізика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

12. ТЕОРIЯ УДАРУ

12.1 Загальні положення

Сили, які діють на тіла, діляться на сили, які змінюють швидкості точок протягом деякого кінцевого проміжку часу - кінцеві сили i сили, які змінюють швидкості точок тіла протягом дуже малого проміжку часу - миттєві або ударні сили.

Нехай - ударна сила,  - час дії цієї сили. Тоді імпульс цієї сили за проміжок часу t обчислюється за формулою: (12.1)

Iмпульс - кiнцева величина - називається ударним iмпульсом.

Явище, при якому виникають миттєвi або ударнi сили, називається ударом.

Рис. 12.1

Лiнiя удару - спiльна нормаль до поверхонь тiл, якi ударяються.

Удар називають центральним, якщо центри мас тiл, якi ударяються, лежать на лiнii удару (Рис. 12.1).

Центральний удар називають прямим, якщо швидкостi центрiв мас тiл, якi ударяються, на початку удару напрямленi по лiнiї удару.

Нехай тiла А i В вважаються абсолютно гладкими. Пiсля моменту дотику обидва тiла деформуються, при цьому швидкiсть тiла А зменшується, а швидкiсть тiла В збiльшується.

Процес деформацiї закiнчується тодi, коли швидкостi тiл стають рiвними.

Ця частина явища удару називається фазою деформацiї, час цiєї фази позначимо τ1.

Ударний iмпульс сили за фазу деформацiї .(12.2)

Iмпульс сили позначимо . Тодi

Пiсля деформацiї тiла вiдновлюють свою форму. Цю частину явища удару називають фазу вiдновлення. Час цiєї фази позначимо τ2.

Фаза вiдновлення закiнчується тодi, коли тiла вiддiляються одне вiд одного.

Iмпульс ударної сили (12.3)

Коефiцiєнт вiдновлення (безрозмiрний) дорiвнює вiдношенню ударних iмпульсiв до : (12.4)

Якщо k=0, то вiдбувається удар абсолютно непружнiх тiл. Такий удар називають абсолютно непружним.

Якщо k=1, то такий удар називають абсолютно пружнiм. При 0<k<1 вiдбувається удар тiл середньої пружностi i такий удар називають пружним.

12.2 Дія ударної сили на матеріальну точку

Нехай на матерiальну точку масою m дiє ударна сила i кiнцева сила .

Час ударної сили позначимо τ, швидкiсть точки на початку удару дорiвнює , а в кiнцi удару - (рис.12 2).

Використовуючи теорему про змiну кiлькостi руху точки, одержимо:

.(12.5)

Але , так як сила кінцева величина, а τ – мала величина.

Значить: , (12.6)

де .

Рівняння (12.6) називають основним рівнянням динаміки точки при ударі.

Зміна кількості руху точки за час удару дорівнює ударному імпульсу, прикладеному до точки.

З (6) видно, що .(12.7)

Рис 12.2

Визначимо вiддаль, яку пройде точка за час удару:

Так як τ - мала величина, то l=0. Значить, перемiщенням точки за час дiї ударних сил можна знехтувати.

12.3 Теорема про зміну кількості руху центра мас механічної системи при ударі

Нехай маємо систему точок, маси яких вiдповiдно рiвнi: m1, m2, ... mn. Швидкостi точок на початку удару позначимо . Швидкостi точок пiсля удару - . Час удару - τ.

Запишемо теорему про змiну кiлькостi руху механiчної системи:

,(12.8)

де – рівнодійні зовнішніх ударних сил.

Отже: змiна кiлькостi руху системи за час удару дорiвнює геометричнiй сумi зовнiшнiх ударних iмпульсiв, прикладених до системи. Так як - швидкiсть центра мас системи до удару, а - швидкiсть центра мас пiсля удару, то:

,(12.9)

де .

12.4 Теорема про зміну кінетичної енергії системи при ударі (теорема Кельвіна)

Пряме використання теореми про змiну кiнетичної енергiї системи неможливе, так як перемiщенням точок за час удару можна знехтувати.

Значить потрiбно виразити роботу сил через їх iмпульси. Запишемо теорему про змiну кiлькостi руху точки за промiжок часу вiд моменту t1, до моменту t2:

(12.10)

Помножимо цю рiвнiсть скалярно на i :

(12.11)

Додамо цi рiвностi i подiлимо на 2:

.(12.12)

Значить: .(12.13)

Робота сили, прикладеної до точки за який-небудь промiжок часу, дорiвнює скалярному добутковi iмпульсу сили за цей же промiжок часу на пiвсуму початкової i кiнцевої швидкостей точки.

Цю теорему називають теоремою Кельвiна.

12.5 Теорема Карно для випадку миттєвого накладення ідеальних непружних в'язей

В'язь, накладену на систему при ударі, називають непружною, якщо вона залишається i в кінці удару.

Рис. 12.3

Розглянемо матеріальну точку масою m, на яку накладено ідеальну, стаціонарну i непружну в'язь (рис. 12.3).

Нехай матеріальна точка зв'язана невагомою нерозтяжною ниткою з нерухомою точкою О.

Точка рухається прямолінійно i рівномірно із швидкістю . В деякий момент часу нитка натягується, виникає удар i точка починає рухатись із швидкістю . Імпульс ударної реакції нитки напрямлений по нитці .

По теоремі Кельвіна: , так як , то

(12.14)

Запишемо теорему про зміну кількості руху точки:

Помножимо це рівняння скалярно на S:

Так як , то , або

Значить:

Враховуючи, що , одержимо: .

(12.15)

– втрачена швидкість.

Втрачена кiнетична енергiя визначається за формулою:

.(12.16)

Для системи матерiальних точок: (12.17)

Теорема Карно: при миттєво накладених на систему iдеальних, стацiонарних, непружнiх в'язях виникає втрата кiнетичної енергiї, яка дорiвнює по величинi кiнетичнiй енергiї системи вiд втрати швидкостей.

12.6 Теорема Карно для миттєвого зняття стацiонарних в'язей

Розглянемо одну матерiальну точку. Запишемо теорему Кельвiна: .(12.18)

Нехай точка з накладеною на неї в'язею має швидкiсть . Ця в'язь знiмається ударом з iмпульсом , який перпендикулярний до швидкостi .

Так як , то .

Тодi , де - швидкiсть точки в кiнцi удару.

Використаємо теорему про змiну кiлькостi руху точки:

Помножимо обидвi частини рiвностi скалярно на S:

Значить: ; (12.19)

Значить: (12.20)

– придбана швидкість

При миттєвому зняттi з системи накладенних на неї в'язей ударами, iмпульси яких перпендикулярнi до швидкостей точок системи, кiнетична енергiя системи зростає на величину, яка дорiвнює кiнетичнiй енергiї системи від придбаних швидкостей.

12.7 Загальна теорема Карно

Нехай на матерiальну точку миттєво накладається iдеальна, стацiонарна, пружна в'язь. При цьому виникає удар, в кiнцi якого точка покидає в'язь внаслiдок її пружностi. При ударі тіло проходить двi фази: фазу деформацiїї i фазу вiдновлення.

Це явище розглянемо на прикладi удару точки в нерухому гладку поверхню (рис. 12.4).

Рис. 12.4

Швидкостi точки на початку удару позначимо , а в кiнцi удару - . Фаза деформацiї закiнчується тодi, коли закiнчується проникнення точки в середину поверхнi, тобто, коли нормальна складова швидкості, зменшуючись в процесі удару, стає рівна нулю.

Швидкiсть точки в кiнцi цiєї фази розмiщена в дотичнiй площинi до поверхнi. Позначимо цю швидкiсть . Ударний iмпульс реакцiї поверхнi за першу фазу . Цей iмпульс напрямлений по нормалi до поверхнi, так як вона гладка.

Використаємо теорему Карно: .(12.21)

Момент початку фази вiдновлення спiвпадає з кiнцем фази деформацiї. На початку фази вiдновлення швидкiсть точки дорiвнює , швидкiсть в кiнцi фази - . Швидкiсть являється швидкiстю в кiнцi удару.

Теорема Карно: ,(12.22)

де iмпульс реакцiї поверхнi. Додаємо рiвностi (12.21) і (12.22):

Iмпульс реакцiї поверхнi за час удару позначимо S. Очевидно, що

S = S1+S2, S2 = kS1, (12.23)

де k - коефіцієнт відновлення.

Значить: , звідки і (12.24)

Тоді: .(12.25)

Оскільки: , то .(12.26)

Для втраченої кiнетичної енергiї одержимо формулу:

.(12.27)

Таким чином, якщо на систему матерiальних точок миттєво накладенi iдеальнi, стацiонарнi, пружнi в'язi, то в процесi удару виникає втрата кiнетичної енергiїї, яка дорiвнює кiнетичнiй енергiї системи вiд втраченої швидкостi, помноженiй на коефiцiєнт .(12.28)

12.8 Удар точки в нерухому гладку поверхню

Матерiальна точка вдаряється в нерухому гладку поверхню, маючи на початку ударну швидкiсть (рис.12.5). Визначимо швидкiсть цiєї точки в кiнцi удару , якщо пружнi властивостi поверхнi характеризуються коефiцiєнтом вiдновлення k.

Рис. 12.5

Запишемо теорему про змiну кiлькостi руху точки при ударi: . Проектуємо цю рівність на τ і n: ;

Для фази деформацiї одержимо: , для фази вiдновлення:

Так як , то (12.29).

Значить (12.30)

Величина швидкостi u в кiнцi удару визначається за формулою:

(12.31)

При k = 1 (абсолютно пружний удар) u = v.

Тоді: .(12.32)

Тобто: вiдношення тангенса кута падiння до тангенса кута вiдбиття дорiвнює коефiцiєнтовi вiдновлення.

12.9 Косий удар

Маси тiл, якi ударяються позначимо через m1 i m2. Рухи тiл нехай будуть поступальними.

Швидкостi тiл до удару - i .

Швидкостi тiл пiсля удару – i .

Поверхнi тiл абсолютно гладкi, удар розглянемо центральний (рис.12.6)

Рис. 12.6

Центральний удар називають косим, якщо швидкостi центрiв мас тiл на початку удару не розмiщенi на лiнiї удару. Якщо вектори цих швидкостей лежать на лiнiї удару, то удар називають прямим.

Ударнi iмпульси:

Запишемо теорему про змiну кiлькостi руху:

Спроектуємо цю рiвнiсть на Y:

Звідти: .(12.33)

Аналогічно: .(12.34)

Проекцiї швидкостей тiл, якi ударяються на вiсь перпендикулярну до лiнії удару, при ударi не змiнюються.

12.10 Прямий центральний удар двох тiл

Визначимо швидкостi тiл i в кiнцi удару, якщо коефiцiєнт вiдновлення дорiвнює k. Швидкостi тiл до удару i напрямленi по лiнiї удару.

Так як до системи тiл зовнiшнi ударнi iмпульси не прикладенi, то кiлькiсть руху системи тiл, якi ударяються при ударi не змiнюється:

(12.35)

Вектори i розмiщенi по лiнiї удару. Спроектуємо цю рiвнiсть на лiнiю удару, яка спiвпадає з вiссю X:

(12.36)

Коефіцієнт відновлення .(12.37)

Виходячи із (12.36) і (12.37), опустивши знак проекцій, одержимо:

Розв’язавши систему, маємо:

(12.38)

Визначимо зміну кінетичної енергії T2 – T1:

(12.39)

Із (12.38):

Підставимо ці вирази в (12.39):

Так як, то:

Значить:

Втрата кінетичної енергії:

По теоремі Карно для енергії втраченої системою за весь процес удару одержимо:

. (12.40)