Застосування нелінійної деформаційної моделі в інженерних розрахунках міцності залізобетонних елементів

М (εcu) = Мu = maxМ (εcm) або (7)

М (ηu) = Мu = maxМ (ηm), (8)

забезпечуючи цим самим у загальному випадку двоїсту сутність розв’язання задачі міцності балкового елемента в поперечному перерізі.

Із прийнятих передумов (1) – (5) випливає, що, використовуючи критерії (6) – (8), залежність для визначення невідомої величини εcu можна отримати шляхом диференціювання неявної функції f (As, ηcm, …) =0, котра за суттю є рівняння (2). Тобто, в основу шуканої залежності покладено як критерій (6) мінімальної площі арматури As в перерізі, необхідної для сприймання моменту М, так і критерій (7) максимальної міцності Mu = M цього ж перерізу з мінімальною площею арматури As.

Для визначення невідомої величини εcu шляхом диференціювання (2) як неявної функції As у вигляді f (As, ηm, …) = 0, необхідно спочатку складові Ns, Nc, x та yNc у рівняннях (1) та (2) функціонально виразити через As, εcm або через As, ηm. У результаті виконання вище викладених умов рівняння (1) та (2) у загальному випадку набудуть такого вигляду:

Ns (σs, As, x, ηm, …) – Nc (x, ηm, …) = 0; (9)

Mu – Nc (x, ηm, …) (d – x (σs, As,, ηm, …) +yNc (σs, As,, x, ηm, …) = 0. (10)

В остаточному вигляді система рівнянь (9) та (10) для сформульованої задачі містить чотири невідомих As,, σs, x, ηm. Для їх визначення необхідно мати закон розподілення напружень в бетоні стиснутої зони у вигляді σc = f (у, ηm, …). Для його отримання, використовуючи рис. 1, запишемо, що

σc (у) = εc (у) Еc (у), (11)

де Еcd (у), εc (у) – січний модуль пружності та відносні деформації стиснутого бетону в точці поперечного перерізу на відстану у від нульової лінії, в якій визначається напруження σc (у).

Оскільки в поперечному перерізі балки на ділянці чистого згину в будь-яких його точках маємо одновісний напружений стан, то значення січного модуля пружності бетону у цих точках Еcd (у) буде таким самим, як і для центрально-стиснутого бетонного елемента. Тому використавши діаграму напруження-деформації бетону при стиску (3), можна отримати таку залежність:

Еcd (у) =σc (η) / εc (у), (12)

у котрій, як це видно з рис. 1, η = ηmу/x.

Остаточно, використовуючи залежності (11) та (12), отримано закон розподілення напружень у бетоні стиснутої зони в системі координат УcОcХc з початком Оc на нейтральній лінії (рис. 1) у вигляді:

σc (у, ηm, …) = fcdηmу (Kx-ηmу) /x[x+ (K-2) ηmу]. (13)

Застосовуючи (13) складові рівнянь (1) та (2), після виконання необхідних математичних перетворень, приводяться до таких виразів

Після підстановки функціонально виражених через ηm величин Ns, Nc, x та yNc у рівняння (9) та (10) отримана в неявному вигляді функція As від незалежної перемінної ηm:

 , (19)

у котрій χ (ηm) = (ω-φ) /ω2, а коефіцієнти ω (ηm) і φ (ηm) при с=1+ (К-2) ηm визначаються за формулами (17) та (18).

Отримана в неявному вигляді функціональна залежність (19) As від перемінної ηm, як показав її аналіз з урахуванням даних постановки задачі, однозначно дозволяє обчислювати мінімальне значення площі арматури As=min балкового елемента при заданому значенні згинального моменту M = const = Mu і фіксованому значенні σs (ηm) = fyd залежно тільки від однієї змінної ηm – рівня відносних деформацій бетону в найбільш стиснутій фібрі поперечного перерізу балки.

Ураховуючи вище викладене, остаточно необхідну площу арматури As = min в перерізі можна визначити, дослідивши неявно задану функцію (19) на екстремум за (6)

У результаті отримано диференціальне рівняння

розв’язок котрого, після підстановки в нього відповідних функціональних залежностей (17) та (18) та їх похідних, має вигляд трансцендентного алгебраїчного рівняння відносно ηm = ηu [6]. За фізичною суттю отримане рівняння являє собою сукупність граничних рівнів деформацій бетону  (табл. 1) в найбільш стиснутій фібрі поперечного перерізу в момент досягнення залізобетонним елементом найбільшого опору дії моменту М = Мu при мінімумі площі розтягнутої арматури.

 

Таблиця 1

Значення параметрів ω, φ, χ залежно від значень K та ηu

 

З метою надання зручності використанню рівняння (19) в інженерних розрахунках, при умові використання значень ηm = ηu з табл. 1, здійснено його спрощення шляхом ділення усіх складових на fcdbd2. При цьому аналогічно до [6] введено позначення M/fcdbd2= . В результаті отримано для використання в практиці проектування згинальних залізобетонних елементів удосконалене у порівнянні з [5] рівняння для визначення в них необхідної площі поздовжньої арматури у вигляді:

Розв’язком рівняння (22) аналогічно до [11] при умові ρf = As/bd є формула для визначення площі розтягнутої арматури, необхідної для сприймання моменту М від дії зовнішнього навантаження в балкових елементах

при цьому  .

З метою отримання розрахункових формул для визначення міцності залізобетонних елементів у нормальному перерізі виконано підстановку величин Ns, Nc, x та yNc за (14 – 16) у рівняння (1) та (2), враховуючи, що найбільший опір дії зовнішньому навантаженню залізобетонний елемент буде чинити при σs = fyd. З використанням фізичного змісту відомих коефіцієнтів αm, ξ та ζ за [3] рівняння (1) та (2) записані у вигляді:

Для спрощення обчислень міцності залізобетонних елементів розрахункові значення коефіцієнтів  ,   та   приведені до табличної форми залежно від параметра K (табл. 2) для відповідних значень ξ (табл. 2).

 

Таблиця 2

Значення коефіцієнтів  ,  ,   та   залежно від параметра K

 

При розв’язанні задачі визначення міцності повинна задовольнятися умова:

При розв’язанні задачі визначення необхідної кількості поздовжньої арматури в перерізі залізобетонного елемента перевірку необхідності встановлення арматури в стиснутій зоні можна здійснювати за умовою:

Для зручності виконання обчислень граничні значення параметрів   та   для різних класів бетону й арматури наведені в табл. 3.

 

Таблиця 3

Значення параметрів   та   для різних класів бетону й арматури

 

Приклад 1. Дано: балка (рис. 1) з розмірами перерізу b = 200 мм, h = 400 мм, а = 30 мм; бетон класу С30/35 (fcd = 19, 5 МПа, Еcd = 27 ГПа, εc1, cd = 1, 72‰) ; згинальний момент Мu = 140, 73 кНм; арматура класу А400С  (fyd = 364 МПа). Необхідно визначити площу перерізу поздовжньої арматури.

Розрахунок. Робоча висота перерізу балки 

За приміткою до формули (3) для даного бетону коефіцієнт К: 

За табл. 3  . Перевіряємо умову (30) :  .

За табл. 2 при   та   визначаємо  .

Необхідна площа перерізу поздовжньої арматури за формулою (25) :

Приклад 2. Дано: для балки за даними прикладу 1, армованої стержнями, площа котрих As = 1256 мм2, необхідно визначити згинальний момент Mu, який може сприйнятись балкою.

Розрахунок. Робоча висота перерізу 

Для даного бетону (див. приклад 1) коефіцієнт К = 2, 50.

За формулою (26) :

З табл. 2 та 3 визначаємо 

Умова виконується, тому за формулою (25) підраховуємо значення моменту, який може сприйматися балкою в нормальному перерізі:

Визначене значення Mu = 140, 73 кНм абсолютно збігається зі значенням згинального моменту з прикладу1.

Висновок. Запропоновану методику розрахунку міцності залізобетонних елементів, розроблену з урахуванням нелінійних властивостей бетону та відповідно до вимог сучасної нормативної бази за [1], можна використовувати в практиці проектування залізобетонних елементів.

 

1. Конструкції будинків і споруд. Бетонні та залізобетонні конструкції. Основні положення: ДБН В. 2. 6-98: 2009. – К. : Мінрегіонбуд України, 2009. – 97 с.

2. Конструкції будинків і споруд. Бетонні та залізобетонні конструкції з важкого бетону. Правила проектування: ДСТУ Б В. 2. 6-156: 2010. – К. : Мінрегіонбуд України, 2011. – 118 с.

3. Бетонные и железобетонные конструкции: СНиП 2. 03. 01-84*. – М. : ЦИТП Госстроя СССР, 1989. – 80 с.

4. Павліков А. М. Нелінійна модель напружено-деформованого стану косозавантажених залізобетонних елементів у закритичній стадії: монографія / А. М. Павліков. – Полтава, 2007. – 320 с.

5. Павліков А. М. Використання діаграми стану бетону при визначенні площі поздовжньої арматури в залізобетонних балках / А. М. Павліков Галузеве машинобудування, будівництво: зб. наук. праць. – Полтава: ПолтНТУ, 2004. – Вип. 14. – С. 20 – 22.

6. Павліков А. М. Урахування особливостей деформаційної моделі в розрахунку міцності згинальних залізобетонних елементів у нормальному перерізі за СНиП 2. 03. 01-84 / А. М. Павліков // Коммунальное хозяйство городов: сб. науч. трудов. – Киев: Техника, 2009. – Вып. 90. – С. 248 – 254.

7. Павліков А. М. Розв’язання задач міцності залізобетонних елементів у нормальному перерізі / А. М. Павліков, О. В. Бойко // Галузеве машинобудування, будівництво: зб. наук. праць. – Полтава: ПолтНТУ, 2010. – Вип. 2 (27). – С. 18 – 22.

8. Павліков А. М. Розрахунок міцності залізобетонних елементів у нормальному перерізі, синтезований на основі СНиП 2. 03. 01. -84 та нелінійної деформаційної моделі / А. М. Павліков // Вісник Національного університету «Львівська політехніка». – Львів, 2010. – №664. – С. 128 – 132. 9. Кочкарьов Д. В. Практичний розрахунок згинальних залізобетонних елементів за міцністю на основі нелінійного деформування матеріалів / Д. В. Кочкарьов, В. І. Бабич // Бетон и железобетон в Украине. – 2011. – №5. – С. 22 – 26.

10. Митрофанов В. П. Екстремальний критерій міцності залізобетонних елементів у деформаційній моделі / В. П. Митрофанов, А. М. Павліков // Будівельні конструкції: зб. наук. праць. – К. : НДІБК, 2005. – Вип. 62. – Т. 1. – С. 205 – 213.

11. Митрофанов В. П. Практическое применение деформационной модели с экстремальным критерием прочности железобетонных элементов / В. П. Митрофанов // Коммунальное хозяйство городов: сб. науч. трудов. – К. : Техника, 2004. – Вып. 60. – С. 29 – 48.